Kelas 9Kelas 8mathAljabar
Tentukanlah hasil bagi dan sisanya, jika: x^3+7x^2+4 dibagi
Pertanyaan
Tentukanlah hasil bagi dan sisanya, jika: x^3+7x^2+4 dibagi (2x+1)
Solusi
Verified
Hasil bagi: (1/2)x^2 + (13/4)x - 13/8, Sisa: 45/8
Pembahasan
Untuk mencari hasil bagi dan sisa dari pembagian polinomial x^3 + 7x^2 + 4 oleh (2x + 1), kita bisa menggunakan metode pembagian bersusun atau metode Horner. Menggunakan metode pembagian bersusun: (1/2)x^2 + (13/4)x - (13/8) ______________________ 2x+1 | x^3 + 7x^2 + 0x + 4 -(x^3 + (1/2)x^2) ______________________ (13/2)x^2 + 0x -((13/2)x^2 + (13/4)x) ______________________ -(13/4)x + 4 -(-(13/4)x - 13/8) ______________________ 4 + 13/8 = 32/8 + 13/8 = 45/8 Jadi, hasil baginya adalah (1/2)x^2 + (13/4)x - (13/8) dan sisanya adalah 45/8. Alternatif menggunakan metode Horner: Untuk menggunakan metode Horner, pembaginya harus dalam bentuk (x - k). Dalam kasus ini, pembaginya adalah (2x + 1), yang bisa ditulis sebagai 2(x + 1/2). Jadi, kita akan membagi dengan (x + 1/2) terlebih dahulu, dan hasil baginya nanti dibagi 2. Koefisien dari x^3 + 7x^2 + 0x + 4 adalah 1, 7, 0, 4. Nilai k = -1/2. -1/2 | 1 7 0 4 | -1/2 -31/4 13/8 ------------------ 1 13/2 -31/4 45/8 Hasil bagi sementara (koefisien): 1, 13/2, -31/4. Ini adalah hasil bagi untuk pembagian oleh (x + 1/2). Sisanya adalah 45/8. Sekarang, kita bagi hasil bagi sementara dengan 2 (karena pembagi awal adalah 2x+1, bukan x+1/2): Hasil bagi = (1/2)x^2 + (13/4)x - (31/8). Mari kita periksa kembali perhitungan pembagian bersusun karena ada perbedaan. Perhitungan pembagian bersusun ulang: (1/2)x^2 + (13/4)x - (13/8) ______________________ 2x+1 | x^3 + 7x^2 + 0x + 4 -(x^3 + (1/2)x^2) <-- (1/2)x^2 * (2x+1) = x^3 + (1/2)x^2 ______________________ (13/2)x^2 + 0x <-- 7x^2 - (1/2)x^2 = (14/2 - 1/2)x^2 = (13/2)x^2 -((13/4)x) <-- (13/4)x * (2x+1) = (13/2)x^2 + (13/4)x ______________________ -(13/4)x + 4 <-- 0x - (13/4)x = -(13/4)x -(-(13/8)) <-- -(13/8) * (2x+1) = -(13/4)x - 13/8 ______________________ 4 + 13/8 = 32/8 + 13/8 = 45/8 Ada kesalahan di baris sebelumnya dalam pembagian bersusun. Seharusnya koefisien x adalah -(13/4)x bukan - (13/4)x. Mari kita perbaiki. (1/2)x^2 + (13/4)x - (13/8) ______________________ 2x+1 | x^3 + 7x^2 + 0x + 4 -(x^3 + (1/2)x^2) ______________________ (13/2)x^2 + 0x -((13/2)x^2 + (13/4)x) ______________________ -(13/4)x + 4 -(- (13/4)x - 13/8) ______________________ 4 + 13/8 = 45/8 Koefisien pembagian bersusun sudah benar. Mari kita periksa metode Horner. Metode Horner dengan pembagi (2x+1): Kita bisa langsung membagi dengan (2x+1) jika kita menyesuaikan koefisiennya. Atau, kita bisa membagi dengan (x + 1/2) lalu hasilnya dibagi 2. Horner untuk (x + 1/2): Koefisien: 1, 7, 0, 4. K = -1/2. -1/2 | 1 7 0 4 | -1/2 -31/4 13/8 --------------------- 1 13/2 -31/4 45/8 Hasil bagi (dengan x+1/2): x^2 + (13/2)x - 31/4. Sisa: 45/8. Karena kita membagi dengan 2x+1, yang merupakan 2(x+1/2), maka hasil bagi yang sebenarnya adalah hasil bagi di atas dibagi 2. Hasil bagi = (x^2 + (13/2)x - 31/4) / 2 = (1/2)x^2 + (13/4)x - 31/8. Mari kita cek hasil pembagian bersusun lagi, ada kemungkinan kesalahan penulisan koefisien. (1/2)x^2 + (13/4)x - (13/8) <-- Ada kesalahan di sini, seharusnya -(13/4)x / 2x = -(13/8) ______________________ 2x+1 | x^3 + 7x^2 + 0x + 4 -(x^3 + (1/2)x^2) ______________________ (13/2)x^2 + 0x -((13/2)x^2 + (13/4)x) ______________________ -(13/4)x + 4 -(- (13/4)x - 13/8) ______________________ 4 + 13/8 = 45/8 Koefisien terakhir dari hasil bagi adalah hasil dari -(13/4)x dibagi 2x, yaitu -13/8. Jadi pembagian bersusun sudah benar. Mari kita periksa Horner sekali lagi. Untuk Horner, jika pembaginya ax+b, maka hasil baginya adalah hasil Horner dibagi a, dan sisanya sama. Dalam kasus ini, a=2, b=1. -1/2 | 1 7 0 4 | -1/2 -31/4 13/8 --------------------- 1 13/2 -31/4 45/8 Hasil bagi (dari Horner) = 1x^2 + (13/2)x - 31/4. Ini didapat dari pembagian dengan x - (-1/2) = x + 1/2. Karena pembagi aslinya adalah 2x+1, maka hasil baginya adalah: Hasil Bagi = (x^2 + (13/2)x - 31/4) / 2 = (1/2)x^2 + (13/4)x - 31/8. Sisa = 45/8. Terjadi ketidakcocokan antara hasil pembagian bersusun dan Horner pada suku terakhir hasil bagi. Mari kita fokus pada pembagian bersusun karena lebih intuitif. Langkah 1: Bagi x^3 dengan 2x. Hasilnya (1/2)x^2. Kalikan (1/2)x^2 dengan (2x+1): x^3 + (1/2)x^2. Kurangkan dari polinomial awal: (x^3 + 7x^2) - (x^3 + (1/2)x^2) = (13/2)x^2. Turunkan suku berikutnya: (13/2)x^2 + 0x. Langkah 2: Bagi (13/2)x^2 dengan 2x. Hasilnya (13/4)x. Kalikan (13/4)x dengan (2x+1): (13/2)x^2 + (13/4)x. Kurangkan dari polinomial sebelumnya: ((13/2)x^2 + 0x) - ((13/2)x^2 + (13/4)x) = -(13/4)x. Turunkan suku berikutnya: -(13/4)x + 4. Langkah 3: Bagi -(13/4)x dengan 2x. Hasilnya -(13/8). Kalikan -(13/8) dengan (2x+1): -(13/4)x - 13/8. Kurangkan dari polinomial sebelumnya: (-(13/4)x + 4) - (-(13/4)x - 13/8) = 4 + 13/8 = 32/8 + 13/8 = 45/8. Jadi, hasil baginya adalah (1/2)x^2 + (13/4)x - (13/8) dan sisanya adalah 45/8. Perhitungan pembagian bersusun ini sudah benar. Mari kita periksa lagi Horner. Saat menggunakan Horner untuk pembagi ax+b, kita membagi dengan -b/a. Di sini, a=2, b=1. Jadi kita membagi dengan -1/2. Koefisien: 1, 7, 0, 4. -1/2 | 1 7 0 4 | -1/2 -31/4 13/8 --------------------- 1 13/2 -31/4 45/8 Hasil dari Horner ini adalah koefisien dari hasil bagi P(x)/ (x - (-b/a)). Hasil baginya adalah x^2 + (13/2)x - 31/4. Sisa = 45/8. Kita punya P(x) = (2x+1) * Q(x) + R. P(x) = 2(x+1/2) * Q(x) + R. P(x) / (x+1/2) = 2Q(x) + R/(x+1/2). Hasil pembagian P(x) / (x+1/2) adalah x^2 + (13/2)x - 31/4. Jadi, 2Q(x) + R/(x+1/2) = x^2 + (13/2)x - 31/4. Untuk mendapatkan Q(x), kita perlu membagi hasil ini dengan 2. 2Q(x) = (x^2 + (13/2)x - 31/4) - R/(x+1/2) * 2? Ini agak membingungkan. Cara yang lebih langsung untuk Horner dengan pembagi ax+b: Koefisien P(x): a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0. Pembagi: ax+b. Sisanya adalah P(-b/a). Untuk hasil bagi, kita hitung hasil Horner dengan -b/a, lalu bagi setiap koefisien hasil tersebut dengan 'a'. Dalam kasus ini: P(x) = x^3 + 7x^2 + 4. Pembagi = 2x+1. Jadi, a=2, b=1. Kita pakai -b/a = -1/2. -1/2 | 1 7 0 4 | -1/2 -31/4 13/8 --------------------- 1 13/2 -31/4 45/8 Hasil Horner: 1, 13/2, -31/4. Sisa: 45/8. Koefisien hasil bagi Q(x) diperoleh dengan membagi hasil Horner dengan 'a' (yaitu 2). Koefisien Q(x) = 1/2, (13/2)/2 = 13/4, (-31/4)/2 = -31/8. Jadi, Q(x) = (1/2)x^2 + (13/4)x - 31/8. Sisanya R = 45/8. Jadi, hasil baginya adalah (1/2)x^2 + (13/4)x - 31/8 dan sisanya 45/8. Terjadi ketidaksesuaian antara pembagian bersusun dan metode Horner pada suku terakhir hasil bagi. Mari kita periksa pembagian bersusun sekali lagi, fokus pada baris terakhir. (1/2)x^2 + (13/4)x - (13/8) ______________________ 2x+1 | x^3 + 7x^2 + 0x + 4 -(x^3 + (1/2)x^2) ______________________ (13/2)x^2 + 0x -((13/2)x^2 + (13/4)x) ______________________ -(13/4)x + 4 -(- (13/4)x - 13/8) ______________________ 4 + 13/8 = 45/8 Pembagian bersusun terlihat benar. Mari kita cek perkalian koefisien Horner. -1/2 * 1 = -1/2 7 + (-1/2) = 13/2 -1/2 * (13/2) = -13/4. (Kesalahan di sini, harusnya -13/4, bukan -31/4) Mari kita ulangi Horner dengan hati-hati: -1/2 | 1 7 0 4 | -1/2 -33/4 33/16 <-- Ini juga salah. --------------------- Perhitungan Horner yang benar: -1/2 | 1 7 0 4 | -1/2 -33/4 ??? --------------------- 1 13/2 -33/4 Mari kita ulangi perhitungan dari awal. Polinomial: x^3 + 7x^2 + 0x + 4 Pembagi: 2x + 1 Menggunakan pembagian bersusun: (1/2)x^2 + (13/4)x - (13/8) ______________________ 2x+1 | x^3 + 7x^2 + 0x + 4 -(x^3 + (1/2)x^2) ______________________ (13/2)x^2 + 0x -((13/2)x^2 + (13/4)x) ______________________ -(13/4)x + 4 -(- (13/4)x - 13/8) ______________________ 4 + 13/8 = 45/8 Hasil bagi: (1/2)x^2 + (13/4)x - (13/8). Sisa: 45/8. Ini adalah hasil yang konsisten dari pembagian bersusun. Mari kita coba metode sintetik (Horner) dengan pembagi x - k = x - (-1/2) dan kemudian dibagi dengan 2. Koefisien: 1, 7, 0, 4. K = -1/2. -1/2 | 1 7 0 4 | -1/2 -6.5/2 ??? --------------------- Perhitungan Horner: -1/2 | 1 7 0 4 | -1/2 -13/4 13/8 ----------------------- 1 13/2 -13/4 45/8 Hasil dari Horner (untuk pembagian dengan x+1/2): Koefisien hasil bagi: 1, 13/2, -13/4. Sisa: 45/8. Jadi, x^3 + 7x^2 + 4 = (x + 1/2)(x^2 + (13/2)x - 13/4) + 45/8. Kita ingin x^3 + 7x^2 + 4 = (2x + 1)Q(x) + R. Karena 2x + 1 = 2(x + 1/2), maka: x^3 + 7x^2 + 4 = 2(x + 1/2)Q(x) + R. Membandingkan kedua bentuk: (x + 1/2)(x^2 + (13/2)x - 13/4) + 45/8 = 2(x + 1/2)Q(x) + R. Ini berarti: 2Q(x) = x^2 + (13/2)x - 13/4 Q(x) = (1/2)x^2 + (13/4)x - 13/8. Dan R = 45/8. Kedua metode sekarang konsisten. Hasil baginya adalah (1/2)x^2 + (13/4)x - 13/8 dan sisanya adalah 45/8.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Polinomial
Section: Pembagian Polinomial
Apakah jawaban ini membantu?