Tentukanlah hasil dari lim x->3

1

Pembahasan

Untuk menentukan hasil dari lim x->3 ((x^2-5x+6)sin(x-3)/(x^2-7x+12)^2), kita dapat menggunakan substitusi langsung dan sifat-sifat limit.
Pertama, faktorkan pembilang dan penyebut:
(x^2-5x+6) = (x-2)(x-3)
(x^2-7x+12) = (x-3)(x-4)
Substitusikan kembali ke dalam limit:
lim x->3 ((x-2)(x-3)sin(x-3) / ((x-3)(x-4))^2)
lim x->3 ((x-2)(x-3)sin(x-3) / (x-3)^2(x-4)^2)
Sederhanakan (x-3):
lim x->3 ((x-2)sin(x-3) / (x-3)(x-4)^2)
Kita tahu bahwa lim x->0 (sin(x)/x) = 1. Untuk menyesuaikan bentuk ini, kita dapat membagi pembilang dan penyebut dengan (x-3):
lim x->3 ((x-2)/(x-4)^2) * (sin(x-3)/(x-3))
Gunakan substitusi y = x-3, sehingga saat x->3, maka y->0.
lim y->0 ((y+3-2)/(y+3-4)^2) * (sin(y)/y)
lim y->0 ((y+1)/(y-1)^2) * (sin(y)/y)
Sekarang kita dapat memisahkan limitnya:
(lim y->0 (y+1)/(y-1)^2) * (lim y->0 sin(y)/y)
Evaluasi limit pertama:
(0+1)/(0-1)^2 = 1/(-1)^2 = 1/1 = 1
Evaluasi limit kedua:
lim y->0 sin(y)/y = 1
Jadi, hasil akhirnya adalah 1 * 1 = 1.