Tentukanlah hp dari : |x+2|-4=|3x-1|

Himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong.

Pembahasan

Untuk menentukan HP (Himpunan Penyelesaian) dari persamaan nilai mutlak $|x+2|-4=|3x-1|$, kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus berdasarkan definisi nilai mutlak:

Definisi nilai mutlak: $|a| = a$ jika $a \ge 0$, dan $|a| = -a$ jika $a < 0$.

Ini berarti kita perlu memecah persamaan berdasarkan tanda dari ekspresi di dalam nilai mutlak.

Kasus 1: $x+2 \ge 0$ (yaitu $x \ge -2$) dan $3x-1 \ge 0$ (yaitu $x \ge 1/3$)
Dalam kasus ini, kedua ekspresi bernilai non-negatif, sehingga:
$(x+2) - 4 = (3x-1)$
$x - 2 = 3x - 1$
$-2 + 1 = 3x - x$
$-1 = 2x$
$x = -1/2$
Namun, solusi ini tidak memenuhi syarat $x \ge 1/3$. Jadi, tidak ada solusi dari kasus ini.

Kasus 2: $x+2 \ge 0$ (yaitu $x \ge -2$) dan $3x-1 < 0$ (yaitu $x < 1/3$)
Dalam kasus ini, $|x+2| = x+2$ dan $|3x-1| = -(3x-1) = -3x+1$.
Persamaan menjadi:
$(x+2) - 4 = - (3x-1)$
$x - 2 = -3x + 1$
$x + 3x = 1 + 2$
$4x = 3$
$x = 3/4$
Namun, solusi ini tidak memenuhi syarat $x < 1/3$. Jadi, tidak ada solusi dari kasus ini.

Kasus 3: $x+2 < 0$ (yaitu $x < -2$) dan $3x-1 < 0$ (yaitu $x < 1/3$)
Dalam kasus ini, $|x+2| = -(x+2) = -x-2$ dan $|3x-1| = -(3x-1) = -3x+1$.
Persamaan menjadi:
$-(x+2) - 4 = -(3x-1)$
$-x - 2 - 4 = -3x + 1$
$-x - 6 = -3x + 1$
$-x + 3x = 1 + 6$
$2x = 7$
$x = 7/2$
Namun, solusi ini tidak memenuhi syarat $x < -2$. Jadi, tidak ada solusi dari kasus ini.

Kasus 4: $x+2 < 0$ (yaitu $x < -2$) dan $3x-1 \ge 0$ (yaitu $x \ge 1/3$)
Kasus ini tidak mungkin terjadi karena suatu bilangan tidak mungkin kurang dari -2 dan pada saat yang sama lebih besar dari atau sama dengan 1/3.

Mari kita periksa kembali pemecahan masalahnya, karena sepertinya ada kesalahan dalam penanganan kasus atau operasi aljabar.

Kita punya persamaan: $|x+2| - 4 = |3x-1|$.
Ini setara dengan $|x+2| = |3x-1| + 4$.

Kita bisa menyelesaikan ini dengan mengkuadratkan kedua sisi, tetapi ini bisa menjadi rumit. Cara yang lebih baik adalah dengan mempertimbangkan kasus-kasus berdasarkan titik kritis di mana ekspresi di dalam nilai mutlak menjadi nol.
Titik kritis adalah $x = -2$ (dari $x+2=0$) dan $x = 1/3$ (dari $3x-1=0$).
Ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval:

Interval 1: $x < -2$
Di interval ini, $x+2 < 0$ dan $3x-1 < 0$.
Jadi, $|x+2| = -(x+2)$ dan $|3x-1| = -(3x-1)$.
Persamaan menjadi: $-(x+2) - 4 = -(3x-1)$
$-x - 2 - 4 = -3x + 1$
$-x - 6 = -3x + 1$
$2x = 7$
$x = 7/2$
Ini tidak termasuk dalam interval $x < -2$. Jadi, tidak ada solusi di sini.

Interval 2: $-2 \le x < 1/3$
Di interval ini, $x+2 \ge 0$ dan $3x-1 < 0$.
Jadi, $|x+2| = x+2$ dan $|3x-1| = -(3x-1)$.
Persamaan menjadi: $(x+2) - 4 = -(3x-1)$
$x - 2 = -3x + 1$
$4x = 3$
$x = 3/4$
Ini tidak termasuk dalam interval $-2 \le x < 1/3$ (karena $3/4 = 0.75$ dan $1/3 \approx 0.33$). Jadi, tidak ada solusi di sini.

Interval 3: $x \ge 1/3$
Di interval ini, $x+2 > 0$ dan $3x-1 \ge 0$.
Jadi, $|x+2| = x+2$ dan $|3x-1| = 3x-1$.
Persamaan menjadi: $(x+2) - 4 = 3x-1$
$x - 2 = 3x - 1$
$-1 = 2x$
$x = -1/2$
Ini tidak termasuk dalam interval $x \ge 1/3$. Jadi, tidak ada solusi di sini.

Sepertinya ada kesalahan dalam soal atau pemahaman saya. Mari kita coba pendekatan lain.

Kita punya $|x+2| - |3x-1| = 4$.

Kita akan menggunakan titik kritis $x = -2$ dan $x = 1/3$.

Kasus 1: $x < -2$
$-(x+2) - (-(3x-1)) = 4$
$-x - 2 + 3x - 1 = 4$
$2x - 3 = 4$
$2x = 7$
$x = 7/2$. Tidak memenuhi $x < -2$.

Kasus 2: $-2 \le x < 1/3$
$(x+2) - (-(3x-1)) = 4$
$x + 2 + 3x - 1 = 4$
$4x + 1 = 4$
$4x = 3$
$x = 3/4$. Tidak memenuhi $-2 \le x < 1/3$.

Kasus 3: $x \ge 1/3$
$(x+2) - (3x-1) = 4$
$x + 2 - 3x + 1 = 4$
$-2x + 3 = 4$
$-2x = 1$
$x = -1/2$. Tidak memenuhi $x \ge 1/3$.

Mari kita coba cek jika saya salah dalam menulis ulang soal:
$|x+2|-4=|3x-1|$ ini setara dengan $|x+2| = |3x-1| + 4$

Kemungkinan lain adalah saya salah dalam menentukan kasus atau tanda negatif.

Coba perhatikan ulang persamaan: $|x+2| - 4 = |3x-1|$

Ini sama dengan $|x+2| = |3x-1| + 4$.

Perhatikan bahwa $|3x-1| \ge 0$, sehingga $|3x-1| + 4 \ge 4$.
Ini berarti $|x+2| \ge 4$.

Dari $|x+2| \ge 4$, kita punya dua kemungkinan:
1) $x+2 \ge 4 \implies x \ge 2$
2) $x+2 \le -4 \implies x \le -6$

Sekarang kita gabungkan ini dengan $|x+2| - 4 = |3x-1|$.

Subkasus 1.1: $x \ge 2$
Di sini, $x+2 > 0$ dan $3x-1 > 0$.
Jadi, $(x+2) - 4 = 3x-1$
$x - 2 = 3x - 1$
$-1 = 2x$
$x = -1/2$
Ini bertentangan dengan asumsi $x \ge 2$. Jadi, tidak ada solusi di sini.

Subkasus 2.1: $x \le -6$
Di sini, $x+2 < 0$ dan $3x-1 < 0$.
Jadi, $-(x+2) - 4 = -(3x-1)$
$-x - 2 - 4 = -3x + 1$
$-x - 6 = -3x + 1$
$2x = 7$
$x = 7/2$
Ini bertentangan dengan asumsi $x \le -6$. Jadi, tidak ada solusi di sini.

Sepertinya soal ini tidak memiliki solusi himpunan penyelesaian.
Namun, jika kita asumsikan ada kesalahan penulisan soal dan seharusnya adalah $|x+2| = |3x-1|$, maka solusinya adalah:
$x+2 = 3x-1 \implies 2x = 3 \implies x = 3/2$
atau
$x+2 = -(3x-1) \implies x+2 = -3x+1 \implies 4x = -1 \implies x = -1/4$.

Mari kita coba kasus lain jika persamaan adalah $|x+2| + |3x-1| = 4$ atau $|x+2| - |3x-1| = -4$.

Saya akan berasumsi bahwa ada solusi untuk soal ini dan mencoba mencari di mana letak kesalahannya.

Kembali ke $|x+2| - 4 = |3x-1|$,
atau $|x+2| = |3x-1| + 4$

Kita analisis grafik y = $|x+2|$ dan y = $|3x-1| + 4$.

Titik potong sumbu x untuk $|x+2|$ adalah $x=-2$.
Titik potong sumbu x untuk $|3x-1|$ adalah $x=1/3$.

Grafik $y = |x+2|$ adalah V terbalik di $x=-2$.
Grafik $y = |3x-1| + 4$ adalah V terbalik di $x=1/3$, digeser ke atas sejauh 4 satuan.

Mari kita gunakan metode aljabar lagi dengan hati-hati.

Pecah berdasarkan $|x+2|$ dan $|3x-1|$.
Titik kritis: $x = -2$ dan $x = 1/3$.

Interval 1: $x < -2$
$|x+2| = -(x+2)$
$|3x-1| = -(3x-1)$
Persamaan: $-(x+2) - 4 = -(3x-1)$
$-x - 2 - 4 = -3x + 1$
$-x - 6 = -3x + 1$
$2x = 7$
$x = 7/2$. Tidak ada dalam interval ini.

Interval 2: $-2 \le x < 1/3$
$|x+2| = x+2$
$|3x-1| = -(3x-1)$
Persamaan: $(x+2) - 4 = -(3x-1)$
$x - 2 = -3x + 1$
$4x = 3$
$x = 3/4$. Tidak ada dalam interval ini.

Interval 3: $x \ge 1/3$
$|x+2| = x+2$
$|3x-1| = 3x-1$
Persamaan: $(x+2) - 4 = 3x-1$
$x - 2 = 3x - 1$
$-1 = 2x$
$x = -1/2$. Tidak ada dalam interval ini.

Berdasarkan analisis ini, tampaknya persamaan ini tidak memiliki solusi real.

Namun, jika soal aslinya adalah $|x+2| = |3x-1| + 4$, dan saya perlu memberikan jawaban, saya akan menyimpulkan bahwa tidak ada solusi real.

Jika kita membandingkan bentuk $|a| = |b| + c$, di mana c adalah konstanta positif, ini berarti jarak dari 'a' ke 0 lebih besar dari jarak dari 'b' ke 0, ditambah suatu konstanta. Ini mungkin terjadi.

Coba kita periksa kembali titik-titik kritis dan tanda.

Jika $x = -6$, $|-6+2| - 4 = |-4| - 4 = 4 - 4 = 0$. $|3(-6)-1| = |-18-1| = |-19| = 19$. $0 \ne 19$.
Jika $x = 2$, $|2+2| - 4 = |4| - 4 = 4 - 4 = 0$. $|3(2)-1| = |6-1| = |5| = 5$. $0 \ne 5$.

Saya akan menyimpulkan tidak ada HP dari soal ini berdasarkan analisis saya.

Jawaban untuk soal ini adalah bahwa tidak ada solusi real yang memenuhi persamaan tersebut. Himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong.

Jika kita harus memberikan format jawaban numerik, maka ini adalah kasus khusus.

Karena saya harus memberikan jawaban yang rinci, dan analisis saya menunjukkan tidak ada solusi, saya akan menyatakan demikian.

Himpunan penyelesaian (HP) dari persamaan $|x+2|-4=|3x-1|$ adalah himpunan kosong, karena tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan tersebut setelah dianalisis melalui berbagai kasus interval.

Jawaban ringkas: Himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong (tidak ada solusi real).

Metadata:
Grades: 10, 11, 12 (Matematika Peminatan/Wajib)
Chapters: Persamaan Nilai Mutlak
Topics: Persamaan Nilai Mutlak
Sections: Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak
Type: QnA