Tentukanlah nilai dari : 4 cos^2 67,5 - 4 sin^2 67,5 + 6

Menggunakan identitas trigonometri, nilai ekspresi adalah 4√2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri:
cos(2θ) = 2cos²θ - 1
cos(2θ) = 1 - 2sin²θ

Perhatikan bagian pertama dari ekspresi: 4 cos² 67,5° - 4 sin² 67,5°.
Kita bisa mengeluarkan faktor 4:
4 (cos² 67,5° - sin² 67,5°).

Menggunakan identitas cos(2θ) = cos²θ - sin²θ, dengan θ = 67,5°:
cos(2 * 67,5°) = cos² 67,5° - sin² 67,5°
cos(135°) = cos² 67,5° - sin² 67,5°

Kita tahu bahwa cos(135°) = -√2 / 2.
Jadi, cos² 67,5° - sin² 67,5° = -√2 / 2.

Sekarang substitusikan kembali ke ekspresi awal:
4 * (-√2 / 2) = -2√2.

Seluruh ekspresi menjadi:
-2√2 + 6√2
= 4√2

Jadi, nilai dari 4 cos² 67,5° - 4 sin² 67,5° + 6√2 adalah 4√2.