Tentukanlah nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = 3x - y

Nilai maksimum 25, nilai minimum 3.

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = 3x - y yang memenuhi syarat 2y >= x; y <= 2x; 2y + x <= 20, dan x + y >= 9, kita perlu menggunakan metode program linear. Pertama, kita tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibatasi oleh pertidaksamaan tersebut. 

Pertidaksamaan tersebut adalah: 
1. 2y >= x  => y >= 0.5x 
2. y <= 2x 
3. 2y + x <= 20 => y <= 10 - 0.5x 
4. x + y >= 9 => y >= 9 - x 

Mari kita cari titik potong dari garis-garis yang membentuk batasan: 
- Titik potong y = 0.5x dan y = 2x: 0.5x = 2x => 1.5x = 0 => x=0, y=0. Titik (0,0). 
- Titik potong y = 0.5x dan y = 9 - x: 0.5x = 9 - x => 1.5x = 9 => x=6, y=3. Titik (6,3). 
- Titik potong y = 2x dan y = 10 - 0.5x: 2x = 10 - 0.5x => 2.5x = 10 => x=4, y=8. Titik (4,8). 
- Titik potong y = 2x dan y = 9 - x: 2x = 9 - x => 3x = 9 => x=3, y=6. Titik (3,6). 
- Titik potong y = 10 - 0.5x dan y = 9 - x: 10 - 0.5x = 9 - x => 0.5x = -1 => x=-2, y=11. Titik (-2,11). 
- Titik potong y = 0.5x dan y = 10 - 0.5x: 0.5x = 10 - 0.5x => x = 10, y = 5. Titik (10,5). 

Sekarang kita evaluasi fungsi f(x) = 3x - y di titik-titik pojok yang memenuhi semua syarat: 
- Titik (6,3): f(6,3) = 3(6) - 3 = 18 - 3 = 15. 
- Titik (4,8): f(4,8) = 3(4) - 8 = 12 - 8 = 4. 
- Titik (3,6): f(3,6) = 3(3) - 6 = 9 - 6 = 3. 

Kita perlu memeriksa kembali apakah titik (0,0) dan (-2,11) memenuhi syarat. 
(0,0): 2(0) >= 0 (benar), 0 <= 2(0) (benar), 2(0)+0 <= 20 (benar), 0+0 >= 9 (salah). Jadi (0,0) tidak termasuk. 
(-2,11): 2(11) >= -2 (benar), 11 <= 2(-2) (salah). Jadi (-2,11) tidak termasuk. 

Sekarang kita perlu mencari titik potong antara y = 9-x dan y = 10-0.5x: 
9-x = 10-0.5x 
-1 = 0.5x 
x = -2 
y = 9 - (-2) = 11. 
Titik (-2,11). 

Kita perlu memeriksa lagi titik potong antara y = 0.5x dan y = 10-0.5x: 
0.5x = 10-0.5x 
x = 10 
y = 0.5(10) = 5. 
Titik (10,5). 

Mari kita gambar daerah penyelesaiannya. 
Titik potong yang relevan adalah (6,3), (4,8), (3,6), dan titik potong antara y=2x dan y=10-0.5x yaitu (4,8). Titik potong antara y=0.5x dan y=9-x yaitu (6,3). Titik potong antara y=2x dan y=9-x yaitu (3,6). 

Perlu diperiksa titik potong antara y=0.5x dan y=10-0.5x yaitu (10,5). 
(10,5): 2(5)>=10 (benar), 5<=2(10) (benar), 2(5)+10<=20 (benar), 10+5>=9 (benar). Titik (10,5) valid. 

Titik pojok yang valid: (6,3), (4,8), (3,6), (10,5). 
Evaluasi f(x) = 3x - y: 
- f(6,3) = 3(6) - 3 = 18 - 3 = 15 
- f(4,8) = 3(4) - 8 = 12 - 8 = 4 
- f(3,6) = 3(3) - 6 = 9 - 6 = 3 
- f(10,5) = 3(10) - 5 = 30 - 5 = 25 

Jadi, nilai maksimumnya adalah 25 dan nilai minimumnya adalah 3.