Dengan menggunakan aplikasi dari konsep turunan, gambarkan

Grafik memiliki maksimum lokal di (-1, 3), minimum lokal di (1, -1), titik belok horizontal di (0, 1), dan naik dari kiri ke kanan.

Pembahasan

Untuk menggambarkan grafik suku banyak y = 3x^5 - 5x^3 + 1 menggunakan konsep turunan, kita perlu menganalisis beberapa aspek:

1.  **Titik Potong dengan Sumbu Y:**
    Saat x = 0, y = 3(0)^5 - 5(0)^3 + 1 = 1. Jadi, titik potong dengan sumbu y adalah (0, 1).

2.  **Titik Stasioner (Maksimum/Minimum Lokal):**
    Kita perlu mencari turunan pertama dari y dan menyetelnya sama dengan nol untuk menemukan titik stasioner.
    y' = d/dx (3x^5 - 5x^3 + 1)
    y' = 15x^4 - 15x^2

    Setel y' = 0:
    15x^4 - 15x^2 = 0
    15x^2(x^2 - 1) = 0
    Ini memberikan x = 0 (akar ganda) atau x^2 - 1 = 0, yang berarti x = 1 dan x = -1.

    Sekarang kita cari nilai y pada titik-titik stasioner ini:
    -   Jika x = -1, y = 3(-1)^5 - 5(-1)^3 + 1 = 3(-1) - 5(-1) + 1 = -3 + 5 + 1 = 3. Titik stasioner: (-1, 3).
    -   Jika x = 0, y = 3(0)^5 - 5(0)^3 + 1 = 1. Titik stasioner: (0, 1).
    -   Jika x = 1, y = 3(1)^5 - 5(1)^3 + 1 = 3 - 5 + 1 = -1. Titik stasioner: (1, -1).

3.  **Jenis Titik Stasioner (Menggunakan Turunan Kedua):**
    y'' = d/dx (15x^4 - 15x^2)
    y'' = 60x^3 - 30x

    -   Untuk x = -1:
        y''(-1) = 60(-1)^3 - 30(-1) = -60 + 30 = -30. Karena y'' < 0, maka titik (-1, 3) adalah maksimum lokal.
    -   Untuk x = 0:
        y''(0) = 60(0)^3 - 30(0) = 0. Uji turunan kedua tidak memberikan informasi, kita perlu menggunakan uji turunan pertama.
    -   Untuk x = 1:
        y''(1) = 60(1)^3 - 30(1) = 60 - 30 = 30. Karena y'' > 0, maka titik (1, -1) adalah minimum lokal.

    Uji Turunan Pertama untuk x = 0:
    Kita periksa tanda y' di sekitar x = 0. Ambil x = -0.5 dan x = 0.5.
    y'(-0.5) = 15(-0.5)^4 - 15(-0.5)^2 = 15(0.0625) - 15(0.25) = 0.9375 - 3.75 = -2.8125 (negatif, fungsi turun).
    y'(0.5) = 15(0.5)^4 - 15(0.5)^2 = 15(0.0625) - 15(0.25) = 0.9375 - 3.75 = -2.8125 (negatif, fungsi turun).
    Karena fungsi turun sebelum dan sesudah x = 0, maka titik (0, 1) adalah titik belok horizontal.

4.  **Perilaku Fungsi saat x mendekati positif dan negatif tak hingga:**
    -   Saat x -> +∞, y = 3x^5 - 5x^3 + 1 ≈ 3x^5. Karena pangkatnya ganjil dan koefisiennya positif, y -> +∞.
    -   Saat x -> -∞, y = 3x^5 - 5x^3 + 1 ≈ 3x^5. Karena pangkatnya ganjil dan koefisiennya positif, y -> -∞.

5.  **Titik Belok (Menggunakan Turunan Kedua):**
    Kita setel y'' = 0 untuk mencari kandidat titik belok.
    60x^3 - 30x = 0
    30x(2x^2 - 1) = 0
    Ini memberikan x = 0, atau 2x^2 - 1 = 0, yang berarti x^2 = 1/2, sehingga x = 1/sqrt(2) dan x = -1/sqrt(2).

    Kita sudah tahu x = 0 adalah titik belok horizontal.
    Mari kita periksa perubahan tanda y'' di sekitar x = 1/sqrt(2) dan x = -1/sqrt(2).

    -   Ambil x = 0.5 (antara 0 dan 1/sqrt(2) ≈ 0.707):
        y''(0.5) = 60(0.5)^3 - 30(0.5) = 60(0.125) - 15 = 7.5 - 15 = -7.5 (negatif, cekung ke bawah).
    -   Ambil x = 1 (lebih besar dari 1/sqrt(2)):
        y''(1) = 60(1)^3 - 30(1) = 30 (positif, cekung ke atas).
        Karena ada perubahan kecekungan di x = 1/sqrt(2), maka ada titik belok di sana.

    -   Ambil x = -0.5 (antara -1/sqrt(2) ≈ -0.707 dan 0):
        y''(-0.5) = 60(-0.5)^3 - 30(-0.5) = 60(-0.125) + 15 = -7.5 + 15 = 7.5 (positif, cekung ke atas).
    -   Ambil x = -1 (lebih kecil dari -1/sqrt(2)):
        y''(-1) = -30 (negatif, cekung ke bawah).
        Karena ada perubahan kecekungan di x = -1/sqrt(2), maka ada titik belok di sana.

**Kesimpulan untuk Menggambar Grafik:**
-   Titik potong sumbu y: (0, 1).
-   Maksimum lokal: (-1, 3).
-   Minimum lokal: (1, -1).
-   Titik belok horizontal: (0, 1).
-   Perilaku ujung: Turun dari kiri ke kanan, naik ke kanan.
-   Titik belok lainnya di x = 1/sqrt(2) dan x = -1/sqrt(2).

Grafik akan naik hingga (-1, 3), kemudian turun melalui (0, 1) (titik belok horizontal), terus turun hingga (1, -1), lalu naik lagi. Akan ada perubahan kecekungan pada nilai x positif dan negatif yang sesuai.