Tentukanlah nilai setiap limit berikut. lim p->0 ((sin (2x

cos(2x)

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit $\lim_{p\to 0} \frac{\sin(2x + p) - \sin(2x)}{p}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0 ketika p mendekati 0.
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika $\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk tak tentu (0/0 atau ∞/∞), maka limitnya sama dengan $\lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, asalkan limit turunan tersebut ada.
Dalam kasus ini, kita akan menurunkan pembilang terhadap p dan penyebut terhadap p.
Misalkan $f(p) = \sin(2x + p) - \sin(2x)$ dan $g(p) = p$.
Turunan dari $f(p)$ terhadap p adalah $f'(p) = \frac{d}{dp}(\sin(2x + p) - \sin(2x))$.
Menggunakan aturan rantai, turunan dari $\sin(2x + p)$ terhadap p adalah $\cos(2x + p) \times \frac{d}{dp}(2x + p) = \cos(2x + p) \times 1 = \cos(2x + p)$.
Turunan dari $-\sin(2x)$ terhadap p adalah 0, karena $-\sin(2x)$ dianggap sebagai konstanta terhadap p.
Maka, $f'(p) = \cos(2x + p)$.
Turunan dari $g(p)$ terhadap p adalah $g'(p) = \frac{d}{dp}(p) = 1$.
Sekarang, kita terapkan aturan L'Hopital:
$\lim_{p\to 0} \frac{\sin(2x + p) - \sin(2x)}{p} = \lim_{p\to 0} \frac{\cos(2x + p)}{1}$
Substitusikan p = 0 ke dalam persamaan:
$\frac{\cos(2x + 0)}{1} = \cos(2x)$

Alternatif lain menggunakan identitas trigonometri:
$\( \sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right) \)
Di sini, A = 2x + p dan B = 2x.
$A+B = 2x + p + 2x = 4x + p$
$A-B = 2x + p - 2x = p$
$\( \frac{A+B}{2} = \frac{4x+p}{2} = 2x + \frac{p}{2} \)
$\( \frac{A-B}{2} = \frac{p}{2} \)
Maka, $\sin(2x + p) - \sin(2x) = 2 \cos(2x + \frac{p}{2}) \sin(\frac{p}{2})$.
Limitnya menjadi:
$\lim_{p\to 0} \frac{2 \cos(2x + \frac{p}{2}) \sin(\frac{p}{2})}{p}$
Kita tahu bahwa $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$. Jadi, $\lim_{p\to 0} \frac{\sin(\frac{p}{2})}{\frac{p}{2}} = 1$.
Kita bisa menulis ulang limitnya menjadi:
$\lim_{p\to 0} 2 \cos(2x + \frac{p}{2}) \times \frac{\sin(\frac{p}{2})}{p}$
Untuk mendapatkan bentuk $\frac{\sin(\frac{p}{2})}{\frac{p}{2}}$, kita perlu membagi penyebut dengan 1/2, yang berarti kita harus mengalikan seluruh ekspresi dengan 2:
$\lim_{p\to 0} 2 \times 2 \cos(2x + \frac{p}{2}) \times \frac{\sin(\frac{p}{2})}{p/2}$
Sekarang kita substitusikan p = 0:
$4 \cos(2x + 0) \times 1 = 4 \cos(2x)$

Ada kesalahan dalam penerapan identitas. Mari kita perbaiki:
$\lim_{p\to 0} \frac{2 \cos(2x + \frac{p}{2}) \sin(\frac{p}{2})}{p}$
Kita dapat memisahkan $\frac{\sin(\frac{p}{2})}{p}$ dan mengalikan pembilang dan penyebut dengan $\frac{1}{2}$:
$\lim_{p\to 0} 2 \cos(2x + \frac{p}{2}) \times \frac{\sin(\frac{p}{2})}{p/2} \times \frac{1}{2}$
Ini menjadi:
$\lim_{p\to 0} \cos(2x + \frac{p}{2}) \times \frac{\sin(\frac{p}{2})}{p/2}$
Substitusikan p = 0:
$\cos(2x + 0) \times 1 = \cos(2x)$

Jadi, nilai limitnya adalah cos(2x).