Terlukan akar-akar persamaan x^4-4x^3-x^2+16x-12=0.

Akar-akarnya adalah 1, 2, 3, dan -2.

Pembahasan

Untuk mencari akar-akar persamaan polinomial $x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = 0$, kita dapat menggunakan beberapa metode, seperti metode horner, pembagian polinomial, atau mencari akar rasional terlebih dahulu.

Mari kita coba mencari akar rasional menggunakan Teorema Akar Rasional. Teorema ini menyatakan bahwa jika sebuah polinomial memiliki akar rasional p/q (dalam bentuk paling sederhana), maka p haruslah faktor dari konstanta terakhir (-12) dan q haruslah faktor dari koefisien utama (1).

Faktor dari -12 adalah: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.
Faktor dari 1 adalah: ±1.

Jadi, kemungkinan akar rasional adalah: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Kita bisa mencoba mensubstitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan:

Untuk x = 1: $1^4 - 4(1)^3 - 1^2 + 16(1) - 12 = 1 - 4 - 1 + 16 - 12 = -0$ (Jadi, x=1 bukan akar)

Untuk x = -1: $(-1)^4 - 4(-1)^3 - (-1)^2 + 16(-1) - 12 = 1 - 4(-1) - 1 - 16 - 12 = 1 + 4 - 1 - 16 - 12 = -24$ (Jadi, x=-1 bukan akar)

Untuk x = 2: $2^4 - 4(2)^3 - 2^2 + 16(2) - 12 = 16 - 4(8) - 4 + 32 - 12 = 16 - 32 - 4 + 32 - 12 = 0$ (Jadi, x=2 adalah akar)

Karena x=2 adalah akar, maka (x-2) adalah faktor dari polinomial tersebut. Kita bisa melakukan pembagian polinomial atau metode horner untuk mendapatkan polinomial hasil bagi.

Menggunakan metode horner dengan x=2:

```
2 | 1  -4  -1   16  -12
  |    2  -4  -10   12
  ---------------------
    1  -2  -5    6    0
```

Hasil baginya adalah $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$.

Sekarang kita cari akar dari $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$. Kita coba lagi kemungkinan akar rasional dari faktor konstanta 6 (±1, ±2, ±3, ±6).

Untuk x = 1: $1^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ (Jadi, x=1 adalah akar)

Karena x=1 adalah akar, maka (x-1) adalah faktor. Kita bagi lagi $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ dengan (x-1):

```
1 | 1  -2  -5   6
  |    1  -1  -6
  ----------------
    1  -1  -6   0
```

Hasil baginya adalah $x^2 - x - 6 = 0$.

Sekarang kita faktorkan persamaan kuadrat $x^2 - x - 6 = 0$.

$(x-3)(x+2) = 0$

Jadi, akar-akarnya adalah x = 3 dan x = -2.

Dengan demikian, akar-akar dari persamaan $x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = 0$ adalah 2, 1, 3, dan -2.