Tunjukan bahwa fungsi f(x)=sin (3 x)-5 x tidak pernah naik

f'(x) = 3cos(3x) - 5, yang selalu negatif karena nilai maksimum 3cos(3x) adalah 3, sehingga f'(x) maksimum adalah 3-5=-2.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa fungsi \(f(x) = \sin(3x) - 5x\) tidak pernah naik, kita perlu memeriksa turunan pertamanya, \(f'(x)\). Fungsi dikatakan tidak pernah naik jika turunan pertamanya selalu kurang dari atau sama dengan nol \((f'(x) \leq 0)\) untuk semua nilai \(x\) dalam domainnya.

Langkah 1: Cari turunan pertama dari \(f(x)\).
\(f(x) = \sin(3x) - 5x\)

Menggunakan aturan turunan untuk \(\sin(ax)\) yaitu \(a\cos(ax)\) dan aturan turunan untuk \(cx\) yaitu \(c\):
\(f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(3x)) - \frac{d}{dx}(5x)\)
\(f'(x) = 3\cos(3x) - 5\)

Langkah 2: Analisis tanda dari \(f'(x)\).
Kita tahu bahwa nilai maksimum dari fungsi \(\cos(\theta)\) adalah 1, dan nilai minimumnya adalah -1.
Jadi, \(-1 \leq \cos(3x) \leq 1\).

Sekarang, mari kita lihat rentang nilai dari \(3\cos(3x)\):
Karena \(-1 \leq \cos(3x) \leq 1\), maka jika kita kalikan dengan 3:
\(3 \times (-1) \leq 3\cos(3x) \leq 3 \times 1\)
\(-3 \leq 3\cos(3x) \leq 3\)

Selanjutnya, kita kurangi dengan 5 untuk mendapatkan rentang nilai dari \(f'(x) = 3\cos(3x) - 5\):
\(-3 - 5 \leq 3\cos(3x) - 5 \leq 3 - 5\)
\(-8 \leq f'(x) \leq -2\)

Langkah 3: Kesimpulan.
Dari analisis di atas, kita melihat bahwa \(f'(x)\) selalu berada di antara -8 dan -2. Artinya, \(f'(x)\) selalu bernilai negatif untuk semua nilai \(x\).

Karena \(f'(x) < 0\) untuk semua \(x\), maka fungsi \(f(x) = \sin(3x) - 5x\) selalu menurun. Fungsi yang selalu menurun secara definisi adalah fungsi yang tidak pernah naik.

Oleh karena itu, terbukti bahwa fungsi \(f(x)=\sin(3x)-5x\) tidak pernah naik.