Tunjukan bahwa garis 4 x-y=17 adalah diameter dari

Garis 4x - y = 17 adalah diameter lingkaran karena garis tersebut melalui titik pusat lingkaran (4, -1).

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa garis 4x - y = 17 adalah diameter dari lingkaran x² + y² - 8x + 2y = 0, kita perlu menunjukkan bahwa:
1. Titik tengah lingkaran terletak pada garis tersebut.
2. Jarak dari titik pusat lingkaran ke garis tersebut adalah nol (artinya garis memotong lingkaran di dua titik yang berjarak sama dari pusat, yang merupakan definisi diameter).

Langkah 1: Cari titik pusat lingkaran.
Persamaan lingkaran umum adalah (x-a)² + (y-b)² = r², di mana (a, b) adalah titik pusat.
Dalam bentuk implisit x² + y² - 8x + 2y = 0, kita bisa melengkapkan kuadrat:
(x² - 8x) + (y² + 2y) = 0
(x² - 8x + 16) + (y² + 2y + 1) = 0 + 16 + 1
(x - 4)² + (y + 1)² = 17

Jadi, titik pusat lingkaran adalah (4, -1).

Langkah 2: Periksa apakah titik pusat terletak pada garis 4x - y = 17.
Substitusikan koordinat titik pusat (4, -1) ke dalam persamaan garis:
4(4) - (-1) = 16 + 1 = 17
Karena 17 = 17, titik pusat lingkaran terletak pada garis tersebut.

Langkah 3: Periksa jarak dari titik pusat ke garis.
Rumus jarak dari titik (x₀, y₀) ke garis Ax + By + C = 0 adalah |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).
Dalam kasus ini, titik pusat (x₀, y₀) = (4, -1) dan garisnya adalah 4x - y - 17 = 0 (A=4, B=-1, C=-17).
Jarak = |4(4) + (-1)(-1) - 17| / √(4² + (-1)²)
Jarak = |16 + 1 - 17| / √(16 + 1)
Jarak = |17 - 17| / √17
Jarak = 0 / √17
Jarak = 0

Karena jarak dari titik pusat lingkaran ke garis adalah 0, ini berarti garis tersebut melalui titik pusat lingkaran. Garis yang melalui titik pusat lingkaran dan memotong lingkaran di dua titik adalah diameter.