Tunjukkan bahwa: (100 P 99-99 P 98)/121=81 x 98!

Terbukti setelah menyederhanakan kedua sisi.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa $\frac{P(100, 99) - P(99, 98)}{121} = 81 \times 98!$, kita perlu menggunakan definisi permutasi $P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Pertama, kita hitung $P(100, 99)$: 
$P(100, 99) = \frac{100!}{(100-99)!} = \frac{100!}{1!} = 100!$

Kedua, kita hitung $P(99, 98)$: 
$P(99, 98) = \frac{99!}{(99-98)!} = \frac{99!}{1!} = 99!$

Selanjutnya, kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi di sisi kiri:
$\frac{P(100, 99) - P(99, 98)}{121} = \frac{100! - 99!}{121}$

Kita bisa mengeluarkan $99!$ dari $100!$: $100! = 100 \times 99!$.
Jadi, ekspresi menjadi: $\frac{100 \times 99! - 99!}{121} = \frac{99! (100 - 1)}{121} = \frac{99! \times 99}{121}$

Sekarang, kita sederhanakan $\frac{99}{121}$. Keduanya dapat dibagi dengan 11: $\frac{99 \div 11}{121 \div 11} = \frac{9}{11}$.

Sehingga, ekspresi menjadi: $99! \times \frac{9}{11}$.

Ini belum sama dengan sisi kanan, mari kita periksa kembali. Terdapat kesalahan dalam soal atau interpretasi saya.

Mari kita coba interpretasi lain, jika P merujuk pada permutasi.

Baik, mari kita cek kembali perhitungan.
$\frac{100! - 99!}{121} = \frac{99!(100-1)}{121} = \frac{99 \times 99!}{121}$.
Jika kita membagi 99 dengan 121, kita mendapatkan $\frac{99}{121} = \frac{9 \times 11}{11 \times 11} = \frac{9}{11}$.
Jadi, hasilnya adalah $\frac{9}{11} 	imes 99!$.

Sekarang kita lihat sisi kanan: $81 	imes 98!$.
Kita bisa tulis $99! = 99 	imes 98!$.
Jadi, sisi kanan adalah $81 	imes 98!$.

Sepertinya ada kesalahan dalam soal yang diberikan, karena hasil perhitungan sisi kiri adalah $\frac{9}{11} 	imes 99!$ atau $\frac{9 	imes 99}{11} 	imes 98! = \frac{891}{11} 	imes 98! = 81 	imes 98!$.

Mari kita lakukan pembagian $\frac{99}{121}$ lagi.
$\frac{99}{121} = \frac{9 \times 11}{11 \times 11} = \frac{9}{11}$.

Jadi, $\frac{100! - 99!}{121} = \frac{99! (100-1)}{121} = \frac{99 	imes 99!}{121} = \frac{99}{121} 	imes 99! = \frac{9}{11} 	imes 99!$.

Kita harus menunjukkan bahwa $\frac{9}{11} 	imes 99! = 81 	imes 98!$. 
Ubah $99! = 99 	imes 98!$.
Maka, $\frac{9}{11} 	imes (99 	imes 98!) = \frac{9 	imes 99}{11} 	imes 98! = \frac{891}{11} 	imes 98!$.

$891 \div 11 = 81$.

Jadi, $\frac{891}{11} 	imes 98! = 81 	imes 98!$.

Terbukti bahwa $\frac{P(100, 99) - P(99, 98)}{121} = 81 	imes 98!$.