Tunjukkan bahwa grafik fungsi f(x) = 1/3 x^3 + x^2 + x

Turunan pertama fungsi adalah $f'(x) = (x+1)^2$, yang selalu non-negatif, sehingga fungsi tidak pernah turun.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa grafik fungsi $f(x) = \frac{1}{3} x^3 + x^2 + x$ tidak pernah turun, kita perlu memeriksa turunan pertamanya, $f'(x)$. Fungsi dikatakan tidak pernah turun jika turunannya selalu non-negatif, yaitu $f'(x) \geq 0$ untuk semua nilai $x$.

Langkah 1: Cari turunan pertama dari $f(x)$.
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3} x^3 + x^2 + x \right)$
$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2x + 1$
$f'(x) = x^2 + 2x + 1$

Langkah 2: Analisis tanda dari $f'(x)$.
Persamaan $f'(x) = x^2 + 2x + 1$ dapat difaktorkan menjadi bentuk kuadrat sempurna:
$f'(x) = (x + 1)^2$

Langkah 3: Tentukan apakah $f'(x) \geq 0$ untuk semua $x$.
Karena $f'(x) = (x + 1)^2$, dan kuadrat dari bilangan real manapun selalu non-negatif (lebih besar dari atau sama dengan nol), maka:
$(x + 1)^2 \geq 0$ untuk semua nilai $x$ real.

Ini berarti bahwa $f'(x) \geq 0$ untuk semua $x$.

Kesimpulan:
Karena turunan pertama fungsi, $f'(x)$, selalu lebih besar dari atau sama dengan nol untuk semua nilai $x$, maka grafik fungsi $f(x) = \frac{1}{3} x^3 + x^2 + x$ tidak pernah turun. Fungsi ini hanya memiliki satu titik di mana turunannya adalah nol, yaitu pada $x = -1$, yang merupakan titik belok horizontal, bukan titik di mana fungsi mulai naik kembali setelah turun.