Segitiga ABD siku-siku di B. Titik C pada BD sehingga CD=3

9/130

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat segitiga.

Diketahui:
Segitiga ABD siku-siku di B.
Titik C pada BD sehingga CD = 3 dan BC = 2.
AB = 1.
Sudut CAD = beta.

Kita perlu mencari sin^2(beta).

Dalam segitiga ABC siku-siku di B:
Tan(sudut BAC) = BC / AB = 2 / 1 = 2.

Dalam segitiga ABD siku-siku di B:
Tan(sudut BAD) = BD / AB = (BC + CD) / AB = (2 + 3) / 1 = 5 / 1 = 5.

Kita tahu bahwa sudut BAD = sudut BAC + sudut CAD.
Misalkan sudut BAC = alfa, maka sudut BAD = alfa + beta.

Kita memiliki Tan(alfa) = 2 dan Tan(alfa + beta) = 5.
Kita gunakan rumus penjumlahan tangen: Tan(X + Y) = (Tan X + Tan Y) / (1 - Tan X * Tan Y).

Tan(alfa + beta) = (Tan alfa + Tan beta) / (1 - Tan alfa * Tan beta)
5 = (2 + Tan beta) / (1 - 2 * Tan beta)
5 * (1 - 2 * Tan beta) = 2 + Tan beta
5 - 10 * Tan beta = 2 + Tan beta
5 - 2 = Tan beta + 10 * Tan beta
3 = 11 * Tan beta
Tan beta = 3 / 11.

Sekarang kita perlu mencari sin^2(beta).
Kita tahu bahwa jika Tan(beta) = y/x, maka sin(beta) = y / sqrt(x^2 + y^2) dan cos(beta) = x / sqrt(x^2 + y^2).
Dalam kasus ini, y = 3 dan x = 11.
Sin(beta) = 3 / sqrt(11^2 + 3^2) = 3 / sqrt(121 + 9) = 3 / sqrt(130).

Sin^2(beta) = (3 / sqrt(130))^2 = 9 / 130.

Jadi, sin^2(beta) = 9/130.