Tunjukkan bahwa limit x->0 cotx/cot(3x) = 3

Limitnya adalah 3.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa limit x->0 cot(x)/cot(3x) = 3, kita dapat menggunakan definisi limit dan sifat-sifat fungsi trigonometri.

Limit yang diberikan adalah:
lim (x->0) [cot(x) / cot(3x)]

Kita tahu bahwa cot(x) = cos(x) / sin(x).
Jadi, kita bisa menulis ulang ekspresi tersebut sebagai:

lim (x->0) [(cos(x) / sin(x)) / (cos(3x) / sin(3x))]

Ini sama dengan:

lim (x->0) [cos(x) / sin(x) * sin(3x) / cos(3x)]

Kita bisa memisahkan limit ini menjadi:

lim (x->0) [cos(x) / cos(3x)] * lim (x->0) [sin(3x) / sin(x)]

Untuk limit pertama:
lim (x->0) [cos(x) / cos(3x)] = cos(0) / cos(0) = 1 / 1 = 1

Untuk limit kedua, kita dapat menggunakan sifat limit lim (x->0) [sin(ax) / sin(bx)] = a/b.
Dalam kasus ini, a=3 dan b=1.
Jadi, lim (x->0) [sin(3x) / sin(x)] = 3/1 = 3.

Menggabungkan kedua hasil limit:

1 * 3 = 3

Oleh karena itu, terbukti bahwa limit x->0 cot(x)/cot(3x) = 3.