Turunan dari fungsi f(x)=tan x/cos x adalah

(1 + sin² x) / cos³ x

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk mencari turunan dari fungsi f(x) = tan x / cos x.

Kita bisa menyederhanakan fungsi tersebut terlebih dahulu sebelum menurunkan. Ingat bahwa tan x = sin x / cos x.

Maka, f(x) = (sin x / cos x) / cos x
f(x) = sin x / (cos x * cos x)
f(x) = sin x / cos² x

Kita juga bisa menulisnya sebagai:
f(x) = sin x * (cos x)⁻²

Sekarang kita akan menggunakan aturan perkalian dan aturan rantai untuk mencari turunannya.
Aturan perkalian: (uv)' = u'v + uv'
Misalkan u = sin x, maka u' = cos x.
Misalkan v = (cos x)⁻², maka menggunakan aturan rantai:
v' = -2 * (cos x)⁻³ * (-sin x)
v' = 2 sin x * (cos x)⁻³

Sekarang masukkan ke aturan perkalian:
f'(x) = (cos x) * (cos x)⁻² + (sin x) * (2 sin x * (cos x)⁻³)
f'(x) = (cos x) / cos² x + 2 sin² x / cos³ x
f'(x) = 1 / cos x + 2 sin² x / cos³ x

Untuk menjumlahkan kedua suku, kita samakan penyebutnya menjadi cos³ x:
f'(x) = cos² x / cos³ x + 2 sin² x / cos³ x
f'(x) = (cos² x + 2 sin² x) / cos³ x
f'(x) = (cos² x + sin² x + sin² x) / cos³ x

Karena cos² x + sin² x = 1:
f'(x) = (1 + sin² x) / cos³ x

Kita bisa juga menyederhanakannya lebih lanjut:
f'(x) = 1/cos³ x + sin² x / cos³ x
f'(x) = sec³ x + tan² x sec x

Alternatif lain adalah menggunakan aturan pembagian:
Jika f(x) = g(x) / h(x), maka f'(x) = (g'(x)h(x) - g(x)h'(x)) / [h(x)]²

Kita punya f(x) = sin x / cos² x
Misalkan g(x) = sin x, maka g'(x) = cos x.
Misalkan h(x) = cos² x, maka h'(x) = 2 cos x (-sin x) = -2 sin x cos x.

Maka:
f'(x) = [ (cos x)(cos² x) - (sin x)(-2 sin x cos x) ] / (cos² x)²
f'(x) = [ cos³ x + 2 sin² x cos x ] / cos⁴ x
f'(x) = cos x (cos² x + 2 sin² x) / cos⁴ x
f'(x) = (cos² x + 2 sin² x) / cos³ x

Seperti sebelumnya, kita bisa sederhanakan:
f'(x) = (cos² x + sin² x + sin² x) / cos³ x
f'(x) = (1 + sin² x) / cos³ x

Jadi, turunan dari fungsi f(x) = tan x / cos x adalah (1 + sin² x) / cos³ x.