Turunan tingkat tinggi fungsi trigonometri y=cos (x^3)

Turunan ketiga dari y = cos(x^3) adalah (27x^6 - 6) sin(x^3) - 54x^3 cos(x^3).

Pembahasan

Untuk mencari turunan tingkat tinggi dari y = cos(x^3), kita perlu mencari turunan pertama, kedua, dan seterusnya secara berurutan.

Turunan Pertama (y'):
Menggunakan aturan rantai, turunan dari cos(u) adalah -sin(u) * u'.
Misalkan u = x^3, maka u' = 3x^2.
Jadi, y' = -sin(x^3) * 3x^2 = -3x^2 sin(x^3).

Turunan Kedua (y''):
Sekarang kita turunkan y' = -3x^2 sin(x^3). Kita akan menggunakan aturan perkalian (u*v)' = u'v + uv'.
Misalkan u = -3x^2 dan v = sin(x^3).
Maka u' = -6x.
Untuk mencari v', kita gunakan aturan rantai lagi pada sin(x^3). Misalkan w = x^3, maka w' = 3x^2. Turunan dari sin(w) adalah cos(w) * w'.
Jadi, v' = cos(x^3) * 3x^2 = 3x^2 cos(x^3).

Sekarang masukkan ke dalam aturan perkalian:
y'' = (-6x)(sin(x^3)) + (-3x^2)(3x^2 cos(x^3))
y'' = -6x sin(x^3) - 9x^4 cos(x^3).

Turunan Ketiga (y'''):
Sekarang kita turunkan y'' = -6x sin(x^3) - 9x^4 cos(x^3).
Kita akan menurunkan setiap suku secara terpisah.

Untuk suku pertama, -6x sin(x^3):
Misalkan u = -6x dan v = sin(x^3).
Maka u' = -6.
Dan v' = 3x^2 cos(x^3) (seperti yang kita hitung sebelumnya).
Menggunakan aturan perkalian:
(-6)(sin(x^3)) + (-6x)(3x^2 cos(x^3)) = -6 sin(x^3) - 18x^3 cos(x^3).

Untuk suku kedua, -9x^4 cos(x^3):
Misalkan u = -9x^4 dan v = cos(x^3).
Maka u' = -36x^3.
Dan v' = -3x^2 sin(x^3) (turunan dari cos(x^3)).
Menggunakan aturan perkalian:
(-36x^3)(cos(x^3)) + (-9x^4)(-3x^2 sin(x^3))
= -36x^3 cos(x^3) + 27x^6 sin(x^3).

Menjumlahkan hasil turunan kedua suku:
y''' = (-6 sin(x^3) - 18x^3 cos(x^3)) + (-36x^3 cos(x^3) + 27x^6 sin(x^3))
y''' = (27x^6 - 6) sin(x^3) - 54x^3 cos(x^3).

Ini adalah turunan ketiga. Perhitungan turunan tingkat yang lebih tinggi akan menjadi lebih kompleks.