Kelas 11Kelas 12mathTrigonometri
Untuk 0 <= x <= 360 , himpunan penyelesaian dari
Pertanyaan
Untuk 0 <= x <= 360, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan cos 2x - sin x - 1 >= 0 adalah...
Solusi
Verified
Himpunan penyelesaiannya adalah {x | 180 <= x <= 210} dan {x | 330 <= x <= 360}.
Pembahasan
Pertidaksamaan yang diberikan adalah cos 2x - sin x - 1 >= 0 untuk 0 <= x <= 360 derajat. Menggunakan identitas trigonometri cos 2x = 1 - 2sin^2 x, kita substitusikan ke dalam pertidaksamaan: (1 - 2sin^2 x) - sin x - 1 >= 0. Ini menyederhanakan menjadi -2sin^2 x - sin x >= 0. Kalikan kedua sisi dengan -1 dan balik arah pertidaksamaan: 2sin^2 x + sin x <= 0. Faktorkan sin x: sin x (2sin x + 1) <= 0. Sekarang kita cari nilai sin x yang memenuhi pertidaksamaan ini. Ada dua kasus: Kasus 1: sin x >= 0 dan 2sin x + 1 <= 0. Dari sin x >= 0, kita tahu x berada di kuadran I dan II, yaitu 0 <= x <= 180 derajat. Dari 2sin x + 1 <= 0, kita dapatkan sin x <= -1/2. Nilai sin x yang kurang dari atau sama dengan -1/2 terjadi di kuadran III dan IV, yaitu 210 <= x <= 330 derajat. Irisan dari kedua kondisi ini tidak ada. Kasus 2: sin x <= 0 dan 2sin x + 1 >= 0. Dari sin x <= 0, kita tahu x berada di kuadran III dan IV, yaitu 180 <= x <= 360 derajat. Dari 2sin x + 1 >= 0, kita dapatkan sin x >= -1/2. Nilai sin x yang lebih besar dari atau sama dengan -1/2 terjadi di kuadran I, II, dan IV, yaitu 0 <= x <= 150 derajat dan 330 <= x <= 360 derajat. Irisan dari kedua kondisi ini adalah 180 <= x <= 150 (tidak mungkin) dan 330 <= x <= 360 derajat. Jadi, untuk kasus ini, kita memiliki 330 <= x <= 360 derajat. Namun, mari kita tinjau ulang pemfaktoran sin x (2sin x + 1) <= 0. Nilai kritis untuk sin x adalah 0 dan -1/2. Ketika sin x = 0, x = 0, 180, 360 derajat. Ketika sin x = -1/2, x = 210, 330 derajat. Sekarang kita uji interval: Untuk 0 <= x < 180, sin x positif. Jika x antara 0 dan 150 (sin x > -1/2), maka sin x (2sin x + 1) > 0. Jika x antara 150 dan 180 (sin x < -1/2 tidak mungkin), sin x positif. Untuk 180 <= x <= 210, sin x negatif. Jika x antara 180 dan 210 (sin x > -1/2), maka sin x (2sin x + 1) < 0. Untuk 210 <= x <= 330, sin x negatif. Jika x antara 210 dan 330 (sin x < -1/2), maka sin x (2sin x + 1) > 0. Untuk 330 <= x <= 360, sin x negatif. Jika x antara 330 dan 360 (sin x > -1/2), maka sin x (2sin x + 1) < 0. Jadi, pertidaksamaan sin x (2sin x + 1) <= 0 dipenuhi ketika sin x <= 0 DAN 2sin x + 1 >= 0 ATAU sin x >= 0 DAN 2sin x + 1 <= 0. Kasus 1: sin x <= 0 (180 <= x <= 360) DAN 2sin x + 1 >= 0 (sin x >= -1/2, yaitu 0 <= x <= 150 atau 330 <= x <= 360). Irisannya adalah 330 <= x <= 360. Kasus 2: sin x >= 0 (0 <= x <= 180) DAN 2sin x + 1 <= 0 (sin x <= -1/2, yaitu 210 <= x <= 330). Irisannya tidak ada. Kembali ke pertidaksamaan awal: cos 2x - sin x - 1 >= 0. Substitusi cos 2x = 1 - 2sin^2 x menghasilkan 1 - 2sin^2 x - sin x - 1 >= 0, yang menjadi -2sin^2 x - sin x >= 0, atau 2sin^2 x + sin x <= 0. Faktorkan menjadi sin x (2sin x + 1) <= 0. Nilai kritis sin x = 0 (x=0, 180, 360) dan sin x = -1/2 (x=210, 330). Kita periksa tanda sin x (2sin x + 1) pada interval: (0, 180): sin x > 0. Untuk x=90, sin 90 = 1, 1(2*1+1)=3 > 0. Jadi, interval ini tidak memenuhi. (180, 210): sin x < 0. Untuk x=195, sin 195 negatif. 2sin 195 + 1 > 0 (karena sin 195 > -1/2). Maka, hasil kali negatif * positif = negatif. Interval ini memenuhi. (210, 330): sin x < 0. Untuk x=270, sin 270 = -1. -1(2*(-1)+1) = -1(-1) = 1 > 0. Jadi, interval ini tidak memenuhi. (330, 360): sin x < 0. Untuk x=345, sin 345 negatif. 2sin 345 + 1 > 0 (karena sin 345 > -1/2). Maka, hasil kali negatif * positif = negatif. Interval ini memenuhi. Kita juga perlu mempertimbangkan titik kritisnya: Jika x=180, sin 180 = 0. Maka 0(2*0+1) = 0 <= 0. Memenuhi. Jika x=210, sin 210 = -1/2. Maka -1/2(2*(-1/2)+1) = -1/2(0) = 0 <= 0. Memenuhi. Jika x=330, sin 330 = -1/2. Maka -1/2(2*(-1/2)+1) = -1/2(0) = 0 <= 0. Memenuhi. Jika x=360, sin 360 = 0. Maka 0(2*0+1) = 0 <= 0. Memenuhi. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | 180 <= x <= 210} dan {x | 330 <= x <= 360}.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Persamaan Trigonometri, Fungsi Trigonometri
Section: Identitas Trigonometri, Pertidaksamaan Trigonometri
Apakah jawaban ini membantu?