Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya

Keuntungan terbesar yang dapat dicapai adalah Rp34.000.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu menggunakan konsep program linear untuk mencari keuntungan terbesar.

Misalkan:
- x = jumlah kue jenis I
- y = jumlah kue jenis II

Informasi yang diberikan:
1.  Modal untuk kue I = Rp200, keuntungan 40%
    Keuntungan per kue I = 40% * Rp200 = 0.40 * 200 = Rp80
2.  Modal untuk kue II = Rp300, keuntungan 30%
    Keuntungan per kue II = 30% * Rp300 = 0.30 * 300 = Rp90
3.  Total modal yang tersedia = Rp100.000
4.  Jumlah produksi maksimum = 400 kue

Fungsi tujuan (yang ingin dimaksimalkan) adalah keuntungan total (Z):
Z = 80x + 90y

Kendala-kendala yang ada:
1.  Kendala modal: Modal total yang dikeluarkan tidak boleh melebihi Rp100.000.
    200x + 300y ≤ 100.000
    Bagi kedua sisi dengan 100: 2x + 3y ≤ 1000

2.  Kendala jumlah produksi: Jumlah total kue tidak boleh melebihi 400.
    x + y ≤ 400

3.  Kendala non-negatif (jumlah kue tidak bisa negatif):
    x ≥ 0
    y ≥ 0

Sekarang kita perlu mencari nilai maksimum dari Z dengan mempertimbangkan kendala-kendala tersebut. Kita bisa menggunakan metode titik pojok (vertex) dengan mencari titik potong dari garis-garis kendala:

Garis 1: 2x + 3y = 1000
Garis 2: x + y = 400

Cari titik potong Garis 1 dan Garis 2:
Dari Garis 2, y = 400 - x.
Substitusikan ke Garis 1:
2x + 3(400 - x) = 1000
2x + 1200 - 3x = 1000
-x = 1000 - 1200
-x = -200
x = 200

Jika x = 200, maka y = 400 - 200 = 200.
Titik potong pertama adalah (200, 200).

Sekarang kita perlu mencari titik potong dengan sumbu x dan y:

Titik potong Garis 1 (2x + 3y = 1000):
- Jika x = 0, 3y = 1000 => y = 1000/3 ≈ 333.33
- Jika y = 0, 2x = 1000 => x = 500
Titik (0, 1000/3) dan (500, 0).

Titik potong Garis 2 (x + y = 400):
- Jika x = 0, y = 400
- Jika y = 0, x = 400
Titik (0, 400) dan (400, 0).

Titik-titik pojok yang mungkin (memenuhi semua kendala x≥0, y≥0, x+y≤400, 2x+3y≤1000):
1.  Titik O: (0, 0)
    Z = 80(0) + 90(0) = 0

2.  Titik potong dengan sumbu y (jika memenuhi kendala lain):
    Dari Garis 1: (0, 1000/3). Periksa Garis 2: 0 + 1000/3 = 1000/3 ≈ 333.33. Ini ≤ 400. Jadi (0, 1000/3) adalah titik pojok yang valid.
    Z = 80(0) + 90(1000/3) = 90 * (1000/3) = 30 * 1000 = 30.000

    Dari Garis 2: (0, 400). Periksa Garis 1: 2(0) + 3(400) = 1200. Ini > 1000. Jadi (0, 400) TIDAK valid.

3.  Titik potong dengan sumbu x (jika memenuhi kendala lain):
    Dari Garis 1: (500, 0). Periksa Garis 2: 500 + 0 = 500. Ini > 400. Jadi (500, 0) TIDAK valid.

    Dari Garis 2: (400, 0). Periksa Garis 1: 2(400) + 3(0) = 800. Ini ≤ 1000. Jadi (400, 0) adalah titik pojok yang valid.
    Z = 80(400) + 90(0) = 32.000

4.  Titik potong kedua garis: (200, 200)
    Periksa kendala: x+y = 200+200 = 400 (≤ 400, valid)
                  2x+3y = 2(200) + 3(200) = 400 + 600 = 1000 (≤ 1000, valid)
    Titik (200, 200) adalah titik pojok yang valid.
    Z = 80(200) + 90(200) = 16.000 + 18.000 = 34.000

Bandingkan nilai Z dari titik-titik pojok yang valid:
- Z(0, 0) = 0
- Z(0, 1000/3) = 30.000
- Z(400, 0) = 32.000
- Z(200, 200) = 34.000

Keuntungan terbesar yang dapat dicapai adalah Rp34.000 ketika ibu memproduksi 200 kue jenis I dan 200 kue jenis II.