Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11Kelas 12mathAritmatika SosialProgram Linear

Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya

Pertanyaan

Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap kue I modalnya Rp200 dengan keuntungan 40%, sedangkan setiap kue II modalnya Rp300 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya adalah Rp100.000 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue. Berapa keuntungan terbesar yang dapat dicapai ibu tersebut dari modalnya?

Solusi

Verified

Keuntungan terbesar yang dapat dicapai adalah Rp34.000.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu menggunakan konsep program linear untuk mencari keuntungan terbesar. Misalkan: - x = jumlah kue jenis I - y = jumlah kue jenis II Informasi yang diberikan: 1. Modal untuk kue I = Rp200, keuntungan 40% Keuntungan per kue I = 40% * Rp200 = 0.40 * 200 = Rp80 2. Modal untuk kue II = Rp300, keuntungan 30% Keuntungan per kue II = 30% * Rp300 = 0.30 * 300 = Rp90 3. Total modal yang tersedia = Rp100.000 4. Jumlah produksi maksimum = 400 kue Fungsi tujuan (yang ingin dimaksimalkan) adalah keuntungan total (Z): Z = 80x + 90y Kendala-kendala yang ada: 1. Kendala modal: Modal total yang dikeluarkan tidak boleh melebihi Rp100.000. 200x + 300y ≤ 100.000 Bagi kedua sisi dengan 100: 2x + 3y ≤ 1000 2. Kendala jumlah produksi: Jumlah total kue tidak boleh melebihi 400. x + y ≤ 400 3. Kendala non-negatif (jumlah kue tidak bisa negatif): x ≥ 0 y ≥ 0 Sekarang kita perlu mencari nilai maksimum dari Z dengan mempertimbangkan kendala-kendala tersebut. Kita bisa menggunakan metode titik pojok (vertex) dengan mencari titik potong dari garis-garis kendala: Garis 1: 2x + 3y = 1000 Garis 2: x + y = 400 Cari titik potong Garis 1 dan Garis 2: Dari Garis 2, y = 400 - x. Substitusikan ke Garis 1: 2x + 3(400 - x) = 1000 2x + 1200 - 3x = 1000 -x = 1000 - 1200 -x = -200 x = 200 Jika x = 200, maka y = 400 - 200 = 200. Titik potong pertama adalah (200, 200). Sekarang kita perlu mencari titik potong dengan sumbu x dan y: Titik potong Garis 1 (2x + 3y = 1000): - Jika x = 0, 3y = 1000 => y = 1000/3 ≈ 333.33 - Jika y = 0, 2x = 1000 => x = 500 Titik (0, 1000/3) dan (500, 0). Titik potong Garis 2 (x + y = 400): - Jika x = 0, y = 400 - Jika y = 0, x = 400 Titik (0, 400) dan (400, 0). Titik-titik pojok yang mungkin (memenuhi semua kendala x≥0, y≥0, x+y≤400, 2x+3y≤1000): 1. Titik O: (0, 0) Z = 80(0) + 90(0) = 0 2. Titik potong dengan sumbu y (jika memenuhi kendala lain): Dari Garis 1: (0, 1000/3). Periksa Garis 2: 0 + 1000/3 = 1000/3 ≈ 333.33. Ini ≤ 400. Jadi (0, 1000/3) adalah titik pojok yang valid. Z = 80(0) + 90(1000/3) = 90 * (1000/3) = 30 * 1000 = 30.000 Dari Garis 2: (0, 400). Periksa Garis 1: 2(0) + 3(400) = 1200. Ini > 1000. Jadi (0, 400) TIDAK valid. 3. Titik potong dengan sumbu x (jika memenuhi kendala lain): Dari Garis 1: (500, 0). Periksa Garis 2: 500 + 0 = 500. Ini > 400. Jadi (500, 0) TIDAK valid. Dari Garis 2: (400, 0). Periksa Garis 1: 2(400) + 3(0) = 800. Ini ≤ 1000. Jadi (400, 0) adalah titik pojok yang valid. Z = 80(400) + 90(0) = 32.000 4. Titik potong kedua garis: (200, 200) Periksa kendala: x+y = 200+200 = 400 (≤ 400, valid) 2x+3y = 2(200) + 3(200) = 400 + 600 = 1000 (≤ 1000, valid) Titik (200, 200) adalah titik pojok yang valid. Z = 80(200) + 90(200) = 16.000 + 18.000 = 34.000 Bandingkan nilai Z dari titik-titik pojok yang valid: - Z(0, 0) = 0 - Z(0, 1000/3) = 30.000 - Z(400, 0) = 32.000 - Z(200, 200) = 34.000 Keuntungan terbesar yang dapat dicapai adalah Rp34.000 ketika ibu memproduksi 200 kue jenis I dan 200 kue jenis II.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Program Linear, Keuntungan Maksimum
Section: Metode Titik Pojok, Menentukan Keuntungan Maksimum Dengan Kendala

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...