Untuk n bilangan asli, x =/= y, buktikan dengan induksi

Terbukti benar dengan menggunakan basis induksi untuk n=1, asumsi induksi untuk n=k, dan langkah induktif untuk n=k+1.

Pembahasan

Untuk membuktikan dengan induksi matematika bahwa x^n - y^n habis dibagi (x - y) untuk n bilangan asli dan x ≠ y, kita ikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n = 1, kita perlu menunjukkan bahwa x^1 - y^1 habis dibagi (x - y). 
x^1 - y^1 = x - y. Jelas bahwa (x - y) habis dibagi (x - y).
Jadi, basis induksi terpenuhi.

Langkah 2: Asumsi Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu x^k - y^k habis dibagi (x - y). Ini berarti x^k - y^k = m(x - y) untuk suatu bilangan bulat m.

Langkah 3: Langkah Induktif
Kita perlu menunjukkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1. Yaitu, kita perlu membuktikan bahwa x^(k+1) - y^(k+1) habis dibagi (x - y).

Perhatikan ekspresi x^(k+1) - y^(k+1):
x^(k+1) - y^(k+1) = x * x^k - y * y^k
Kita bisa memanipulasi ekspresi ini dengan menambahkan dan mengurangi y * x^k:
x^(k+1) - y^(k+1) = x * x^k - y * x^k + y * x^k - y * y^k
x^(k+1) - y^(k+1) = x^k(x - y) + y(x^k - y^k)

Dari asumsi induksi, kita tahu bahwa x^k - y^k = m(x - y).
Substitusikan ini ke dalam persamaan:
x^(k+1) - y^(k+1) = x^k(x - y) + y(m(x - y))
x^(k+1) - y^(k+1) = x^k(x - y) + my(x - y)
Faktorkan (x - y):
x^(k+1) - y^(k+1) = (x - y)(x^k + my)

Karena (x - y) adalah faktor dari x^(k+1) - y^(k+1), maka x^(k+1) - y^(k+1) habis dibagi (x - y).

Kesimpulan:
Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan bahwa x^n - y^n habis dibagi (x - y) benar untuk semua bilangan asli n.