Untuk n in {N), f(n)=n^(3)+6 n^(2)+5 n habis dibagi .... A.

f(n) = n(n+1)(n+5). Terbukti selalu habis dibagi 3.

Pembahasan

Untuk n in {N), f(n) = n^3 + 6n^2 + 5n. Kita bisa memfaktorkan f(n) menjadi n(n^2 + 6n + 5) = n(n+1)(n+5). Untuk menguji keterbagian, kita bisa mencoba beberapa nilai n dari himpunan bilangan asli (N).
Jika n=1, f(1) = 1(2)(6) = 12. Habis dibagi 3, 8, 12.
Jika n=2, f(2) = 2(3)(7) = 42. Habis dibagi 3, 7.
Jika n=3, f(3) = 3(4)(8) = 96. Habis dibagi 3, 8, 12.
Jika n=4, f(4) = 4(5)(9) = 180. Habis dibagi 3, 5, 12.
Dari pengujian ini, kita melihat bahwa f(n) selalu habis dibagi 3. Untuk membuktikannya secara umum, perhatikan bahwa n(n+1) selalu habis dibagi 2. Jika n habis dibagi 3, maka f(n) habis dibagi 3. Jika n=3k+1, maka n+5 = 3k+1+5 = 3k+6, yang habis dibagi 3, sehingga f(n) habis dibagi 3. Jika n=3k+2, maka n+1 = 3k+2+1 = 3k+3, yang habis dibagi 3, sehingga f(n) habis dibagi 3. Jadi, f(n) selalu habis dibagi 3. 

Selanjutnya, kita periksa keterbagian dengan 5. Jika n habis dibagi 5, maka f(n) habis dibagi 5. Jika n=5k+1, maka n+1=5k+2, n+5=5k+6. Jika n=5k+2, maka n+1=5k+3, n+5=5k+7. Jika n=5k+3, maka n+1=5k+4, n+5=5k+8. Jika n=5k+4, maka n+1=5k+5, yang habis dibagi 5, sehingga f(n) habis dibagi 5. Jadi, f(n) selalu habis dibagi 5. 

Karena f(n) selalu habis dibagi 3 dan 5, maka f(n) selalu habis dibagi 3 * 5 = 15. Namun, 15 tidak ada dalam pilihan. Kita perlu memeriksa keterbagian dengan 8 dan 12.

Perhatikan n(n+1)(n+5). 
Jika n genap, n=2k, maka f(n) = 2k(2k+1)(2k+5). Jika k genap, n=4m, maka f(n) = 4m(4m+1)(4m+5), habis dibagi 4. Jika k ganjil, n=4m+2, maka f(n) = (4m+2)(4m+3)(4m+7). 
Jika n ganjil, n=2k+1, maka f(n) = (2k+1)(2k+2)(2k+6) = (2k+1) * 2(k+1) * 2(k+3) = 4(2k+1)(k+1)(k+3). 

Mari kita periksa kembali nilai-nilai:
 n=1, f(1) = 12 (habis dibagi 12)
 n=2, f(2) = 42 (tidak habis dibagi 12)
 n=3, f(3) = 96 (habis dibagi 12)
 n=4, f(4) = 180 (habis dibagi 12)

Karena ada kasus di mana f(n) tidak habis dibagi 12 (contoh n=2), maka 12 bukan jawaban yang pasti.

Mari kita periksa 8:
 n=1, f(1) = 12 (tidak habis dibagi 8)
 n=2, f(2) = 42 (tidak habis dibagi 8)
 n=3, f(3) = 96 (habis dibagi 8)
 n=4, f(4) = 180 (tidak habis dibagi 8)

Jadi, jawaban yang paling tepat dari pilihan yang diberikan adalah 3 dan 5, yang keduanya merupakan faktor dari 15. Namun, jika kita harus memilih salah satu, kita perlu melihat pola yang lebih umum. 

Kita tahu n(n+1) selalu habis dibagi 2. 
Kita juga tahu bahwa hasil kali tiga bilangan berurutan selalu habis dibagi 3! = 6. 

Dalam kasus f(n) = n(n+1)(n+5), ini bukanlah hasil kali tiga bilangan berurutan. 
Namun, kita bisa melihat bahwa f(n) selalu habis dibagi 3 dan 5. 

Mari kita periksa kembali soalnya, mungkin ada kesalahan ketik atau konteks yang hilang. Asumsi bahwa soal meminta faktor persekutuan dari semua nilai f(n) untuk n anggota bilangan asli.

Kita sudah membuktikan bahwa f(n) selalu habis dibagi 3 dan 5. Jadi, f(n) selalu habis dibagi 15. 

Jika kita melihat pilihan:
 A. 3 (Benar)
 B. 8 (Salah, contoh n=1, f(1)=12)
 C. 7 (Salah, contoh n=1, f(1)=12)
 D. 12 (Salah, contoh n=2, f(2)=42)
 E. 5 (Benar)

Karena soal meminta "habis dibagi ....", dan pilihan A dan E keduanya benar, ada kemungkinan ada faktor lain yang lebih besar. Jika kita mempertimbangkan faktorisasi prima, kita punya 3 dan 5. Maka 15 juga merupakan faktor. Namun, 15 tidak ada dalam pilihan.

Mungkin maksud soal adalah faktor persekutuan terkecil dari semua nilai f(n). Dalam hal ini, kita perlu menemukan FPB dari semua nilai f(n).

Kita tahu f(n) habis dibagi 3 dan 5. Jadi FPB pasti memiliki faktor 3 dan 5. FPB bisa jadi 15.

Mari kita periksa kembali pilihan dan soal. Jika soal tersebut benar, dan hanya satu jawaban yang benar, maka kita perlu mencari alasan mengapa satu pilihan lebih tepat dari yang lain. 

Kita tahu n, n+1, n+2 adalah tiga bilangan berurutan. Salah satunya habis dibagi 3. Produknya habis dibagi 6.

Perhatikan f(n) = n(n+1)(n+5).
Jika n = 1, f(1) = 1 * 2 * 6 = 12. FPB dari {12, 42, 96, 180, ...}
Jika n = 2, f(2) = 2 * 3 * 7 = 42.
Jika n = 3, f(3) = 3 * 4 * 8 = 96.
Jika n = 4, f(4) = 4 * 5 * 9 = 180.
Jika n = 5, f(5) = 5 * 6 * 10 = 300.

FPB(12, 42) = 6.
FPB(6, 96) = 6.
FPB(6, 180) = 6.
FPB(6, 300) = 6.

Sepertinya FPB dari semua nilai f(n) adalah 6. Namun, 6 tidak ada dalam pilihan.

Mari kita lihat kembali pembuktian bahwa f(n) habis dibagi 3 dan 5. Ini sudah benar. Jadi 3 dan 5 adalah faktor. 

Jika kita lihat pilihan D, 12. Kita sudah menemukan contoh n=2, f(2)=42, yang tidak habis dibagi 12. Jadi D salah.

Jika kita lihat pilihan B, 8. n=1, f(1)=12, tidak habis dibagi 8. Jadi B salah.

Jika kita lihat pilihan C, 7. n=1, f(1)=12, tidak habis dibagi 7. Jadi C salah.

Ini meninggalkan pilihan A (3) dan E (5). Kedua pernyataan ini benar. 

Dalam konteks soal pilihan ganda, jika ada lebih dari satu jawaban yang benar secara matematis, biasanya ada instruksi tambahan atau salah satu jawaban mencakup yang lain (misalnya, jika 15 ada di pilihan, itu akan lebih baik dari 3 atau 5).

Asumsikan ada kesalahan dalam soal atau pilihan. Namun, jika kita harus memilih dari yang ada, dan kita tahu bahwa f(n) selalu habis dibagi 3 dan 5, maka baik A maupun E adalah jawaban yang valid. Tanpa informasi tambahan atau klarifikasi, sulit untuk memilih satu di antara A dan E. 

Namun, jika kita melihat faktorisasi n(n+1)(n+5), kita bisa melihat bahwa produk ini selalu habis dibagi 3 (karena salah satu dari n, n+1, n+2 habis dibagi 3, dan n+5 = (n+2)+3, jadi jika n+2 habis dibagi 3, maka n+5 juga habis dibagi 3). Juga, jika n=5k, maka habis dibagi 5. Jika n=5k+1, n+4 habis dibagi 5. Jika n=5k+2, n+3 habis dibagi 5. Jika n=5k+3, n+2 habis dibagi 5. Jika n=5k+4, n+1 habis dibagi 5. Jadi, n(n+1)(n+5) tidak selalu habis dibagi 5, karena kita harus melihat faktor n+5.

Mari kita uji lagi habis dibagi 5:
n=1, f(1)=12 (tidak habis dibagi 5)
n=2, f(2)=42 (tidak habis dibagi 5)
n=3, f(3)=96 (tidak habis dibagi 5)
n=4, f(4)=180 (habis dibagi 5)

Jadi, E (5) salah.

Hanya A (3) yang terbukti benar secara konsisten untuk semua n bilangan asli. Oleh karena itu, jawaban yang paling tepat adalah 3.