Untuk setiap n bilangan asli, buktikan bahwa: (1 +

Ketidaksamaan (1 + 1/2)^n <= 1 + n/2 + n^2/2^2 dapat dibuktikan menggunakan induksi matematika. Basis induksi (n=1) berlaku. Dengan asumsi berlaku untuk n=k, kita perlu menunjukkan berlaku untuk n=k+1.

Pembahasan

Untuk membuktikan ketidaksamaan (1 + 1/2)^n <= 1 + n/2 + n^2/2^2 untuk setiap bilangan asli n, kita dapat menggunakan induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n=1, kita periksa apakah ketidaksamaan berlaku:
(1 + 1/2)^1 <= 1 + 1/2 + 1^2/2^2
3/2 <= 1 + 1/2 + 1/4
3/2 <= 4/4 + 2/4 + 1/4
3/2 <= 7/4
6/4 <= 7/4
Ini benar.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa ketidaksamaan berlaku untuk suatu bilangan asli k, yaitu:
(1 + 1/2)^k <= 1 + k/2 + k^2/2^2

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa ketidaksamaan berlaku untuk n=k+1:
(1 + 1/2)^(k+1) <= 1 + (k+1)/2 + (k+1)^2/2^2
(1 + 1/2)^k * (1 + 1/2) <= 1 + (k+1)/2 + (k^2 + 2k + 1)/4

Dari hipotesis induksi, kita tahu bahwa (1 + 1/2)^k <= 1 + k/2 + k^2/2^2. Maka:
(1 + 1/2)^k * (3/2) <= (1 + k/2 + k^2/2^2) * (3/2)
(1 + 1/2)^(k+1) <= 3/2 + 3k/4 + 3k^2/8

Sekarang kita bandingkan ruas kanan dari ketidaksamaan yang ingin kita buktikan dengan ruas kanan hasil perkalian hipotesis induksi:
1 + (k+1)/2 + (k+1)^2/2^2 = 1 + (k+1)/2 + (k^2 + 2k + 1)/4
= 1 + k/2 + 1/2 + k^2/4 + 2k/4 + 1/4
= 1 + k/2 + 1/2 + k^2/4 + k/2 + 1/4
= (7/4) + k + k^2/4

Kita perlu menunjukkan bahwa:
3/2 + 3k/4 + 3k^2/8 <= 7/4 + k + k^2/4

Mari kita periksa apakah ada kesalahan dalam soal atau perhitungan. Seringkali ketidaksamaan semacam ini dibuktikan dengan ketidaksamaan Bernoulli jika pangkatnya lebih besar atau sama dengan -1. Namun, di sini bentuknya sedikit berbeda.