Untuk x=/=0 fungsi y=x^7+x^3+1 akan ... A. naik pada x<3

Naik untuk semua nilai x

Pembahasan

Untuk menentukan apakah fungsi $y = x^7 + x^3 + 1$ naik atau turun, kita perlu menganalisis turunan pertamanya, $y'$.

Turunan pertama dari fungsi tersebut adalah:
$y' = \frac{d}{dx}(x^7 + x^3 + 1)$
$y' = 7x^6 + 3x^2$

Sekarang, kita perlu mengevaluasi tanda dari $y'$ untuk berbagai nilai $x$. Ingat bahwa $x \ne 0$.

Perhatikan bahwa $x^6$ selalu non-negatif (yaitu, $\ge 0$) untuk semua nilai real $x$, karena pangkatnya genap.
Demikian pula, $x^2$ selalu non-negatif (yaitu, $\ge 0$) untuk semua nilai real $x$.

Oleh karena itu, $7x^6$ akan selalu non-negatif, dan $3x^2$ akan selalu non-negatif.

Jumlah dari dua bilangan non-negatif adalah non-negatif. Jadi, $y' = 7x^6 + 3x^2 \ge 0$ untuk semua nilai real $x$.

Namun, kita diberikan syarat bahwa $x \ne 0$. Ketika $x \ne 0$, baik $x^6$ maupun $x^2$ akan bernilai positif.
Ini berarti $7x^6 > 0$ dan $3x^2 > 0$.
Akibatnya, $y' = 7x^6 + 3x^2 > 0$ untuk semua $x \ne 0$.

Ketika turunan pertama suatu fungsi lebih besar dari nol ($y' > 0$) pada suatu interval, maka fungsi tersebut dikatakan naik pada interval tersebut.
Karena $y' > 0$ untuk semua $x \ne 0$, fungsi $y = x^7 + x^3 + 1$ naik untuk semua nilai $x$ yang tidak sama dengan nol.

Mari kita periksa pilihan yang diberikan:
A. naik pada x<3 dan turun pada x>3
B. naik dalam selang 3<x<7
C. turun pada x<7 dan naik pada x>7
D. naik untuk semua nilai x
E. turun pada semua nilai x

Berdasarkan analisis kita, fungsi tersebut naik untuk semua nilai $x$ (dengan pengecualian $x=0$ yang memang sudah dilarang dalam soal). Pilihan yang paling sesuai adalah D, dengan interpretasi bahwa