Write down the first three terms in the binomial expansion

Tiga suku pertama: $1024 - \frac{2560}{x^2} + \frac{2880}{x^4}$. Nilai $(1.995)^{10} \approx 999$.

Pembahasan

Kita diminta untuk mencari tiga suku pertama dalam ekspansi binomial dari $(2 - \frac{1}{2x^2})^{10}$ dalam pangkat $x$ yang menaik, dan kemudian menghitung nilai dari $(1.995)^{10}$.

Rumus ekspansi binomial untuk $(a+b)^n$ adalah:
$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2} b^2 + ...$

Dalam kasus ini, $a=2$, $b=-\frac{1}{2x^2}$, dan $n=10$.

Suku pertama (n=0): $\binom{10}{0}(2)^{10}(-\frac{1}{2x^2})^0 = 1 \times 1024 \times 1 = 1024$

Suku kedua (n=1): $\binom{10}{1}(2)^{9}(-\frac{1}{2x^2})^1 = 10 \times 512 \times (-\frac{1}{2x^2}) = 5120 \times (-\frac{1}{2x^2}) = -\frac{2560}{x^2}$

Suku ketiga (n=2): $\binom{10}{2}(2)^{8}(-\frac{1}{2x^2})^2 = 45 \times 256 \times (\frac{1}{4x^4}) = 11520 \times (\frac{1}{4x^4}) = \frac{2880}{x^4}$

Jadi, tiga suku pertama dalam ekspansi binomial adalah $1024 - \frac{2560}{x^2} + \frac{2880}{x^4}$.

Untuk mencari nilai dari $(1.995)^{10}$, kita bisa membandingkannya dengan ekspansi binomial. Perhatikan bahwa $(1.995)^{10}$ dapat ditulis sebagai $(2 - 0.005)^{10}$.

Jika kita bandingkan dengan $(2 - \frac{1}{2x^2})^{10}$, kita perlu menyelesaikan $-\frac{1}{2x^2} = -0.005$ untuk $x$.
$\frac{1}{2x^2} = 0.005$
$1 = 0.01x^2$
$x^2 = \frac{1}{0.01} = 100$
$x = 10$ (kita ambil nilai positif karena kita mencari pangkat menaik dari x).

Namun, ekspansi yang diberikan adalah dalam pangkat menaik dari x, yang berarti kita seharusnya membandingkan dengan $(2 - \frac{1}{2x^2})^{10}$ di mana $x$ adalah variabel. Untuk mengaproksimasi $(1.995)^{10}$, kita perlu membandingkan ekspansi ini dengan bentuk $(a-b)^n$.

Mari kita evaluasi ekspansi untuk nilai $x$ yang membuat $(2 - \frac{1}{2x^2})$ mendekati 1.995. Ini tidak langsung terlihat dari bentuk ekspansi yang diminta (pangkat menaik dari x).

Namun, soal meminta ekspansi dalam pangkat menaik dari $x$. Jika kita ingin mengaproksimasi $(1.995)^{10}$, kita dapat melihat bahwa bentuknya mirip dengan $(2-y)^{10}$.
Jika kita set $2 - \frac{1}{2x^2} = 1.995$, maka $\frac{1}{2x^2} = 0.005$, yang menghasilkan $x^2=100$, jadi $x=10$. Maka ekspansi harus dalam pangkat menurun dari $x$ agar suku pertama adalah $2^{10}$.

Soal ini tampaknya memiliki ambiguitas dalam hubungannya antara ekspansi dan nilai yang dicari, karena ekspansi yang diminta dalam pangkat menaik dari $x$ akan memiliki suku-suku yang melibatkan $\frac{1}{x^2}$, $\frac{1}{x^4}$, dll. Sedangkan $(1.995)^{10}$ adalah nilai numerik langsung.

Mari kita asumsikan bahwa soal ini menghendaki ekspansi $(a-b)^n$ di mana kita dapat mensubstitusikan nilai yang sesuai. Untuk mendapatkan hasil yang mendekati 1.995, kita dapat mempertimbangkan bentuk $(2-y)^{10}$ di mana $y$ kecil.
Jika kita ingin $(2-y) = 1.995$, maka $y = 0.005$. Maka kita dapat mengganti $y$ dengan $\frac{1}{2x^2}$ atau sebaliknya.

Jika kita menganggap ekspansi $(2 - \frac{1}{2x^2})^{10}$ dan kita ingin suku-suku pertama dalam pangkat $x$ yang menaik, ini berarti kita harus menganggap $\frac{1}{x}$ sebagai variabel yang berpangkat. Namun, biasanya ekspansi binomial yang meminta pangkat menaik dari $x$ akan memiliki bentuk seperti $(a+bx)^n$ atau $(a+\frac{b}{x})^n$ dan meminta ekspansi dalam pangkat menaik dari $\frac{1}{x}$.

Mari kita coba interpretasi lain: mungkin soal ini ingin kita membandingkan $(2-y)^{10}$ dengan $(1.995)^{10}$. Jika kita set $2-y = 1.995$, maka $y=0.005$. Maka kita bisa menggunakan ekspansi $(2-y)^{10} \approx 2^{10} - 10 	imes 2^9 	imes y$.
$(1.995)^{10} \approx 2^{10} - 10 	imes 2^9 	imes 0.005$
$(1.995)^{10} \approx 1024 - 10 	imes 512 	imes 0.005$
$(1.995)^{10} \approx 1024 - 5120 	imes 0.005$
$(1.995)^{10} \approx 1024 - 25.6$
$(1.995)^{10} \approx 998.4$

Jika kita gunakan tiga suku pertama dari ekspansi yang diminta (meskipun ini dalam pangkat menurun dari $x$ jika $x$ adalah variabel utama), $1024 - \frac{2560}{x^2} + \frac{2880}{x^4}$. Jika kita menyamakan $2 - \frac{1}{2x^2} = 1.995$, maka $\frac{1}{2x^2} = 0.005$, $x^2 = 100$, $x=10$. Mengganti $x=10$ ke dalam ekspansi yang kita cari:
$1024 - \frac{2560}{10^2} + \frac{2880}{10^4} = 1024 - \frac{2560}{100} + \frac{2880}{10000}$
$= 1024 - 25.6 + 0.288 = 998.4 + 0.288 = 998.688$

Kita perlu mengoreksi ke tiga angka signifikan. Nilai yang paling mendekati adalah 999.

Perhitungan yang lebih akurat menggunakan kalkulator: $(1.995)^{10} \approx 998.68833...$

Jika kita diminta tiga suku pertama dalam pangkat menaik dari $x$, maka bentuknya harus $(a+bx)^n$. Jika bentuknya $(2 - \frac{1}{2x^2})^{10}$, dan kita ingin pangkat menaik dari $x$, ini berarti kita menganggap $\frac{1}{x}$ sebagai variabel. Namun, secara konvensional, ini berarti pangkat $x$ yang menaik adalah $x^0, x^2, x^4, ...$ jika $\frac{1}{x}$ adalah variabel. Jika kita menganggap ekspansi adalah dalam pangkat dari $\frac{1}{x}$ yang menaik, maka suku-sukunya akan menjadi $x^0, x^{-2}, x^{-4}, ...$. Ini juga tidak sesuai dengan pangkat menaik dari $x$.

Mengacu pada soal asli,