(x^8 +x^6-2x^4 +mx^2 +n):(x^4-x^2 +3) sisanya (2x^2 +3).

m = 11 dan n = -6.

Pembahasan

Diketahui pembagian polinomial (x⁸ + x⁶ - 2x⁴ + mx² + n) oleh (x⁴ - x² + 3) memberikan sisa (2x² + 3).
Kita dapat menggunakan Teorema Sisa Polinomial. Jika P(x) dibagi oleh D(x) menghasilkan Q(x) dengan sisa S(x), maka P(x) = D(x)Q(x) + S(x).
Dalam kasus ini, P(x) = x⁸ + x⁶ - 2x⁴ + mx² + n, D(x) = x⁴ - x² + 3, dan S(x) = 2x² + 3.
Kita bisa menulis ulang P(x) sebagai:
x⁸ + x⁶ - 2x⁴ + mx² + n = (x⁴ - x² + 3)Q(x) + 2x² + 3.
Perhatikan bahwa x⁴ - x² + 3 memiliki akar-akar kompleks. Cara yang lebih mudah adalah dengan melakukan pembagian polinomial panjang atau dengan substitusi.

Metode Substitusi:
Misalkan y = x². Maka D(x) menjadi y² - y + 3. Dan P(x) menjadi y⁴ + y³ - 2y² + my + n. Namun, ini tidak tepat karena P(x) tidak sepenuhnya dalam bentuk y.

Mari kita coba pembagian polinomial:
Perhatikan bahwa x⁴ - x² + 3. Jika kita mengalikan ini dengan x⁴ + x³ + 0x² + ...
(x⁴ - x² + 3)(x⁴ + x³ + ax² + bx + c) = x⁸ + x⁷ + ax⁶ + bx⁵ + cx⁴ - x⁶ - x⁵ - ax⁴ - bx³ - cx² + 3x⁴ + 3x³ + 3ax² + 3bx + 3c
= x⁸ + x⁷ + (a-1)x⁶ + (b-1)x⁵ + (c-a+3)x⁴ + (3-b)x³ + (3a-c)x² + 3bx + 3c

Kita ingin mencocokkan koefisien dari P(x) = x⁸ + x⁶ - 2x⁴ + mx² + n.

Koefisien x⁷: 1 = 0 (Ini menunjukkan asumsi bentuk Q(x) perlu diperbaiki atau ini bukan cara terbaik).

Mari kita gunakan pendekatan lain: Jika P(x) dibagi D(x) bersisa S(x), maka P(x) - S(x) habis dibagi D(x).
Jadi, (x⁸ + x⁶ - 2x⁴ + mx² + n) - (2x² + 3) harus habis dibagi oleh x⁴ - x² + 3.
Polinomial baru adalah P'(x) = x⁸ + x⁶ - 2x⁴ + (m-2)x² + (n-3).

Kita bisa mencoba membagi P'(x) dengan D(x) menggunakan pembagian polinomial:
```
        x⁴  + x³ + 0x² + 0x   + 0
      ____________________
x⁴-x²+3 | x⁸ + 0x⁷ + x⁶ - 2x⁴ + 0x³ + (m-2)x² + 0x + (n-3)
        -(x⁸ - x⁶ + 3x⁴)
        ____________________
              2x⁶ - 5x⁴ + 0x³
            -(2x⁶ - 2x⁴ + 6x²)
            ____________________
                   -3x⁴ - 6x² + (m-2)x²
                   
```
Ini masih belum benar karena pembagian panjangnya rumit dan saya tidak bisa menunjukkannya di sini dengan baik.

Cara yang lebih efisien adalah melihat bahwa x⁴ - x² + 3 = 0 memiliki akar-akar tertentu. Namun, menemukan akar tersebut rumit.

Mari kita kembali ke P(x) = D(x)Q(x) + S(x).
Perhatikan bahwa x⁴ = x² - 3.
Maka x⁸ = (x² - 3)² = x⁴ - 6x² + 9 = (x² - 3) - 6x² + 9 = -5x² + 6.

Substitusikan ini ke P(x):
P(x) = (-5x² + 6) + (x² - 3)x² - 2(x² - 3) + mx² + n
P(x) = -5x² + 6 + x⁴ - 3x² - 2x² + 6 + mx² + n
P(x) = x⁴ - 10x² + 12 + mx² + n
P(x) = (x² - 3) - 10x² + 12 + mx² + n
P(x) = x² - 3 - 10x² + 12 + mx² + n
P(x) = -9x² + 9 + mx² + n

Kita tahu bahwa P(x) dibagi D(x) bersisa 2x² + 3.
Ini berarti ketika kita mengganti x⁴ dengan x² - 3 berulang kali, kita akan mendapatkan sisa.
Mari kita coba substitusi x⁴ = x² - 3 pada P(x) = x⁸ + x⁶ - 2x⁴ + mx² + n:

x⁸ = (x⁴)² = (x² - 3)² = x⁴ - 6x² + 9 = (x² - 3) - 6x² + 9 = -5x² + 6.

x⁶ = x² * x⁴ = x² * (x² - 3) = x⁴ - 3x² = (x² - 3) - 3x² = -2x² - 3.

Substitusikan kembali ke P(x):
P(x) = (-5x² + 6) + (-2x² - 3) - 2(x² - 3) + mx² + n
P(x) = -5x² + 6 - 2x² - 3 - 2x² + 6 + mx² + n
P(x) = (-5 - 2 - 2 + m)x² + (6 - 3 + 6 + n)
P(x) = (m - 9)x² + (n + 9).

Ini adalah sisa dari pembagian P(x) oleh x⁴ - x² + 3. Kita diberikan bahwa sisanya adalah 2x² + 3.
Oleh karena itu, kita dapat menyamakan koefisien:

Koefisien x²: m - 9 = 2  => m = 11.

Konstanta: n + 9 = 3   => n = -6.

Jadi, nilai m = 11 dan n = -6.