1. Lengkapi koordinat berikut agar membentuk bangun

1. Koordinat keempat adalah (2, 1). 2. Luas = 12.

Pembahasan

1. Untuk melengkapi koordinat agar membentuk bangun trapesium, kita perlu memahami sifat-sifat trapesium. Trapesium adalah segiempat yang memiliki tepat sepasang sisi sejajar. Kita diberikan tiga titik: A(-2, 1), B(-2, -1), dan C(2, -3). Sifat trapesium yang paling mudah digunakan di sini adalah mencari pasangan sisi yang sejajar. Mari kita periksa gradien antar titik:

Gradien AB (m_AB) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 1) / (-2 - (-2)) = -2 / 0. Gradien ini tak terdefinisi, yang berarti garis AB adalah garis vertikal (sejajar sumbu y).

Gradien BC (m_BC) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-3 - (-1)) / (2 - (-2)) = (-3 + 1) / (2 + 2) = -2 / 4 = -1/2.

Gradien AC (m_AC) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-3 - 1) / (2 - (-2)) = -4 / 4 = -1.

Agar menjadi trapesium, kita perlu titik keempat (misalnya D) sedemikian rupa sehingga salah satu pasangan sisi sejajar. Sisi AB adalah vertikal. Jika kita ingin sisi CD sejajar dengan AB, maka titik D harus memiliki koordinat x yang sama dengan C (yaitu 2), dan koordinat y yang berbeda dari C. Namun, ini akan membuat ABCD menjadi persegi panjang atau persegi jika AD sejajar BC. 

Kemungkinan lain adalah sisi AD sejajar dengan BC, atau sisi BD sejajar dengan AC. Pilihan yang paling umum untuk melengkapi trapesium dengan dua titik yang berdekatan pada sisi vertikal adalah membuat sisi lain sejajar. Misalkan kita ingin sisi CD sejajar dengan AB. Ini berarti koordinat x C dan D harus sama. Karena C=(2, -3), D harus memiliki koordinat x=2. Namun, ini akan membuat CD juga vertikal, yang berarti ABCD adalah jajar genjang jika AB sejajar CD dan BC sejajar AD. 

Mari kita coba membuat sisi AD sejajar dengan BC. Gradien AD harus sama dengan gradien BC (-1/2). Misalkan D = (x, y).
m_AD = (y - 1) / (x - (-2)) = (y - 1) / (x + 2) = -1/2.
2(y - 1) = -(x + 2)
2y - 2 = -x - 2
x + 2y = 0

Sekarang mari kita coba membuat sisi CD sejajar dengan sumbu x. Maka koordinat y C dan D harus sama. C=(2, -3), sehingga D harus memiliki koordinat y=-3. Jika D=(x,-3), maka gradien AD = (-3-1)/(x-(-2)) = -4/(x+2) dan gradien BC = -1/2. Agar sejajar, gradien AD = gradien BC, -4/(x+2) = -1/2, maka 8 = x+2, x=6. Titik D=(6,-3). Maka sisi CD sejajar sumbu x, tetapi AB vertikal. Ini adalah trapesium siku-siku jika AD tegak lurus AB atau CD.

Cara paling sederhana untuk membentuk trapesium dari tiga titik yang membentuk dua sisi, di mana dua titik berbagi koordinat x yang sama (membuat sisi vertikal), adalah dengan membuat sisi lain sejajar dengan sumbu x atau membuat sisi lain sejajar dengan garis yang menghubungkan dua titik lainnya.

Jika kita gunakan titik D=(2, 1), maka kita punya A(-2,1), B(-2,-1), C(2,-3), D(2,1). Sisi AD adalah horizontal (y=1) dan sisi BC memiliki gradien -1/2. Sisi AB vertikal, sisi CD vertikal. Ini adalah persegi panjang.

Jika kita gunakan titik D=(-2, -3), maka kita punya A(-2,1), B(-2,-1), C(2,-3), D(-2,-3). Sisi AB vertikal. Sisi CD memiliki gradien (-3 - (-3)) / (2 - (-2)) = 0 / 4 = 0 (horizontal). Sisi AD vertikal. Sisi BC memiliki gradien -1/2. Ini adalah trapesium karena sisi CD sejajar sumbu x, dan sisi AB dan AD vertikal. Sisi yang sejajar adalah CD dan AB (keduanya vertikal jika kita melihat koordinat B(-2,-1) dan D(-2,-3)).

Jadi, koordinat keempat yang bisa melengkapi adalah D(-2, -3) atau D(2, 1) atau D(x,y) lainnya. Dengan titik A(-2, 1) dan B(-2, -1), kita punya segmen garis vertikal. Jika kita tambahkan titik C(2, -3), kita bisa melengkapinya dengan D(2, y) untuk membuat sisi CD vertikal (menjadi persegi panjang jika AD sejajar BC), atau D(x, 1) untuk membuat AD horizontal (dan AB vertikal, sehingga AD tegak lurus AB), atau D(x, -1) untuk membuat BD horizontal (dan AB vertikal, sehingga BD tegak lurus AB). 

Pilihan yang paling masuk akal adalah membuat sisi yang berlawanan sejajar. Jika kita ingin AB sejajar CD, maka C dan D harus memiliki koordinat x yang sama. C=(2, -3). Jadi D=(2, y). Titik A=(-2, 1), B=(-2, -1). Maka AB vertikal. Jika D=(2, y), maka CD vertikal. Ini akan menjadi persegi panjang jika sisi lainnya sejajar. Gradien BC = -1/2. Gradien AD = (y-1)/(2-(-2)) = (y-1)/4. Agar sejajar, (y-1)/4 = -1/2 => y-1 = -2 => y = -1. Jadi D=(2,-1). Titik B dan D sama. Ini tidak mungkin.

Mari kita coba membuat AD sejajar BC. Gradien BC = -1/2. Misal D=(x, y). Gradien AD = (y-1)/(x+2). Maka (y-1)/(x+2) = -1/2.

Cara lain: Jika kita ingin trapesium dengan alas sejajar sumbu x, maka kita perlu dua titik dengan koordinat y yang sama. Kita punya C(2, -3). Jika kita tambahkan titik D(x, -3), maka CD horizontal. Titik A(-2, 1) dan B(-2, -1). AB vertikal. Ini sudah membentuk trapesium dengan sisi CD horizontal dan sisi AB vertikal. Maka koordinat keempat adalah D(x, -3). Nilai x bisa berapa saja selain 2 (agar tidak tumpang tindih dengan C). Misalnya, kita pilih x = -2, maka D(-2, -3). Titik-titiknya adalah A(-2, 1), B(-2, -1), C(2, -3), D(-2, -3). Sisi AB vertikal. Sisi CD horizontal. Sisi AD vertikal. Sisi BC gradien -1/2. Ini adalah trapesium siku-siku dengan sisi AB dan AD vertikal, dan CD horizontal.

Jadi, salah satu cara melengkapi koordinat agar menjadi trapesium adalah dengan menambahkan titik D(-2, -3). Koordinat yang diberikan adalah (-2, 1), (-2, -1), (2, -3). Jika kita tambahkan D(-2, -3), maka kita punya titik-titik A(-2, 1), B(-2, -1), C(2, -3), D(-2, -3). Perhatikan bahwa titik B dan D memiliki koordinat x yang sama. Sisi AB adalah segmen dari (-2, 1) ke (-2, -1). Sisi BD adalah segmen dari (-2, -1) ke (-2, -3). Keduanya vertikal.

Revisi: Tiga titik yang diberikan adalah (-2, 1), (-2, -1), (2, -3). Mari kita beri nama A=(-2, 1), B=(-2, -1), C=(2, -3). Kita perlu mencari titik D=(x,y).
Sisi AB adalah segmen vertikal karena koordinat x sama. Panjang AB = |1 - (-1)| = 2.
Gradien BC = (-3 - (-1)) / (2 - (-2)) = -2 / 4 = -1/2.
Gradien AC = (-3 - 1) / (2 - (-2)) = -4 / 4 = -1.

Agar menjadi trapesium, harus ada sepasang sisi yang sejajar. 
Opsi 1: AB sejajar CD. Karena AB vertikal, maka CD harus vertikal. Ini berarti koordinat x C dan D harus sama. C=(2, -3), jadi D harus memiliki koordinat x=2. Misalkan D=(2, y). Maka titiknya adalah A(-2, 1), B(-2, -1), C(2, -3), D(2, y). Sisi AB vertikal, sisi CD vertikal. Agar bukan jajar genjang, AD tidak boleh sejajar BC. Gradien AD = (y - 1) / (2 - (-2)) = (y - 1) / 4. Gradien BC = -1/2. Agar tidak sejajar, (y - 1) / 4 != -1/2 => y - 1 != -2 => y != -1. Jadi, D bisa (2, y) dengan y != -1. Misalnya, D=(2, 0). Maka koordinatnya adalah (-2, 1), (-2, -1), (2, -3), (2, 0). Ini adalah trapesium dengan sisi AB dan CD sejajar (keduanya vertikal).

Opsi 2: AD sejajar BC. Gradien BC = -1/2. Misalkan D=(x, y). Gradien AD = (y - 1) / (x - (-2)) = (y - 1) / (x + 2). Maka (y - 1) / (x + 2) = -1/2. Sisi AB (-2,1) ke (-2,-1) vertikal. Sisi CD (2,-3) ke (x,y). Gradien CD = (y - (-3)) / (x - 2) = (y + 3) / (x - 2). Agar AD sejajar BC, maka gradien AD = -1/2. Agar ABCD trapesium, AB tidak sejajar CD. Gradien AB tak terdefinisi, gradien CD = (y+3)/(x-2). Agar tidak sejajar, CD tidak boleh vertikal, artinya x != 2.
Dari (y - 1) / (x + 2) = -1/2 => 2(y - 1) = -(x + 2) => 2y - 2 = -x - 2 => x + 2y = 0.
Ini adalah persamaan garis yang harus dipenuhi oleh D. Jadi D bisa titik manapun di garis x + 2y = 0, asalkan AB tidak sejajar CD. AB vertikal, CD tidak boleh vertikal (x != 2).

Mari kita pilih koordinat keempat yang sederhana. Jika kita ingin sisi yang berlawanan sejajar, dan kita punya sisi vertikal AB, maka kita bisa buat sisi CD vertikal juga. C=(2, -3). Maka D harus memiliki x=2. Misalkan D=(2, y). Maka titiknya adalah (-2, 1), (-2, -1), (2, -3), (2, y). Sisi AB dan CD vertikal. Agar menjadi trapesium, kita tidak boleh membentuk jajar genjang, yang berarti AD tidak boleh sejajar BC. Gradien AD = (y-1)/(2-(-2)) = (y-1)/4. Gradien BC = -1/2. Agar tidak sejajar, (y-1)/4 != -1/2 => y-1 != -2 => y != -1. Jadi, D bisa titik manapun (2,y) asalkan y != -1. Paling sederhana, pilih D=(2, 1). Maka koordinatnya adalah (-2, 1), (-2, -1), (2, -3), (2, 1). Ini adalah trapesium siku-siku.

Atau, jika kita ingin sisi AC sejajar BD. Gradien AC = -1. Misalkan D=(x,y). Gradien BD = (y - (-1)) / (x - (-2)) = (y + 1) / (x + 2). Maka (y + 1) / (x + 2) = -1 => y + 1 = -(x + 2) => y + 1 = -x - 2 => x + y = -3. Titik D harus memenuhi x + y = -3. Contoh D=(-3, 0).

Karena soal ini meminta untuk melengkapi, dan biasanya ada satu jawaban yang paling 'standar', mari kita coba buat alas horizontal. Kita punya titik C=(2,-3). Jika D=(x, -3), maka CD horizontal. Titik A=(-2,1), B=(-2,-1). AB vertikal. Ini sudah trapesium dengan CD horizontal dan AB vertikal. Maka D bisa D(-2, -3). Maka koordinatnya adalah (-2, 1), (-2, -1), (2, -3), (-2, -3).

Koordinat yang dapat melengkapi adalah D(-2, -3). Maka bangun tersebut memiliki titik sudut A(-2, 1), B(-2, -1), C(2, -3), D(-2, -3).

2. Menentukan luas bangun trapesium dengan titik sudut A(-2, 1), B(-2, -1), C(2, -3), D(-2, -3).
Perhatikan bahwa sisi AB dan AD keduanya vertikal karena memiliki koordinat x yang sama.
Sisi AB: x = -2, dari y = -1 hingga y = 1. Panjang AB = |1 - (-1)| = 2.
Sisi AD: x = -2, dari y = -3 hingga y = 1. Panjang AD = |1 - (-3)| = 4.
Sisi BC: Gradien = -1/2. Panjang BC = sqrt((2 - (-2))^2 + (-3 - (-1))^2) = sqrt(4^2 + (-2)^2) = sqrt(16 + 4) = sqrt(20) = 2 * sqrt(5).
Sisi CD: y = -3, dari x = -2 hingga x = 2. Panjang CD = |2 - (-2)| = 4. Sisi CD horizontal.

Dalam kasus ini, kita memiliki sisi AB dan AD yang vertikal. Ini berarti ada sudut siku-siku di A. Sisi CD horizontal. Sisi AB vertikal. Ini berarti sisi AB dan CD tidak sejajar. Sisi AD vertikal, sisi BC gradien -1/2. 

Mari kita susun ulang titiknya untuk melihat trapesium yang benar. A(-2, 1), B(-2, -1), C(2, -3), D(-2, -3).
Perhatikan bahwa titik A, B, dan D semuanya memiliki koordinat x = -2. Ini berarti A, B, D terletak pada garis vertikal yang sama.
Ini tidak membentuk trapesium. Ada kesalahan dalam pemahaman atau penamaan titik.

Mari kita gunakan titik-titik yang diberikan: P1=(-2, 1), P2=(-2, -1), P3=(2, -3). Cari P4=(x,y).

Kemungkinan 1: P1P2 sejajar P3P4.
P1P2 vertikal. Maka P3P4 harus vertikal. Koordinat x P3 dan P4 sama. P3=(2, -3), jadi P4=(2, y). Titik P2=(-2,-1). Gradien P2P4 = (y - (-1)) / (2 - (-2)) = (y+1)/4. Agar P1P2 tidak sejajar P2P4 (agar bukan jajar genjang), P2P4 tidak boleh vertikal, yang sudah terpenuhi karena P2 dan P4 memiliki koordinat x yang berbeda.
Jadi, kita punya P1(-2, 1), P2(-2, -1), P3(2, -3), P4(2, y) dengan y != -1 (agar P2 dan P4 tidak sama). Ini adalah trapesium dengan sisi P1P2 dan P3P4 sejajar (keduanya vertikal).

Panjang sisi sejajar (trapesium siku-siku): P1P2 = |1 - (-1)| = 2. P3P4 = |y - (-3)| = |y+3|.
Tinggi trapesium adalah jarak horizontal antara garis x=-2 dan x=2, yaitu |2 - (-2)| = 4.
Luas = 1/2 * (jumlah sisi sejajar) * tinggi
Luas = 1/2 * (2 + |y+3|) * 4
Luas = 2 * (2 + |y+3|)
Jika kita pilih y=1, maka P4=(2,1). Maka sisi sejajar P1P2=2 dan P3P4=|1+3|=4. Luas = 1/2 * (2+4) * 4 = 1/2 * 6 * 4 = 12.

Kemungkinan 2: P1P3 sejajar P2P4.
Gradien P1P3 = (-3 - 1) / (2 - (-2)) = -4 / 4 = -1.
Misalkan P4=(x,y). Gradien P2P4 = (y - (-1)) / (x - (-2)) = (y+1) / (x+2).
Maka (y+1) / (x+2) = -1 => y+1 = -(x+2) => y+1 = -x-2 => x + y = -3.
P1P2 adalah segmen vertikal. Agar P1P2 tidak sejajar P3P4, gradien P3P4 tidak boleh vertikal. P3=(2,-3). P4=(x,y). Gradien P3P4 = (y - (-3)) / (x - 2) = (y+3) / (x-2). Agar tidak vertikal, x != 2.
Jadi, P4 harus memenuhi x+y=-3 dan x!=2. Contoh P4=(-3,0).
Titik-titiknya: P1(-2,1), P2(-2,-1), P3(2,-3), P4(-3,0).
Sisi sejajar P1P3 dan P2P4.
Panjang P1P3 = sqrt((2 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2) = sqrt(4^2 + (-4)^2) = sqrt(16+16) = sqrt(32) = 4*sqrt(2).
Panjang P2P4 = sqrt((-3 - (-2))^2 + (0 - (-1))^2) = sqrt((-1)^2 + 1^2) = sqrt(1+1) = sqrt(2).
Untuk menghitung tinggi, kita perlu jarak antara garis P1P3 dan P2P4. Ini lebih kompleks.

Kembali ke soal. Soal meminta melengkapi koordinat. Salah satu cara paling umum adalah membuat sisi yang berlawanan sejajar. Dengan titik P1(-2, 1) dan P2(-2, -1), kita punya segmen vertikal. Jika kita tambahkan P4(2, y) sehingga P3(2, -3) dan P4(2, y) membentuk segmen vertikal juga, maka kita punya trapesium dengan dua sisi vertikal sejajar. 

Misalkan koordinat keempat adalah (2, 1). Maka titik-titiknya adalah A(-2, 1), B(-2, -1), C(2, -3), D(2, 1). Sisi AB vertikal, panjang 2. Sisi CD vertikal, panjang |-3 - 1| = 4. Sisi AD horizontal, panjang 4. Sisi BC gradien -1/2. Ini adalah trapesium siku-siku.

Koordinat yang melengkapi: (2, 1).

2. Menghitung luas trapesium dengan titik A(-2, 1), B(-2, -1), C(2, -3), D(2, 1).
Sisi sejajar adalah AB (x=-2) dan CD (x=2). Keduanya vertikal.
Panjang sisi sejajar AB = |1 - (-1)| = 2.
Panjang sisi sejajar CD = |-3 - 1| = 4.
Tinggi trapesium adalah jarak horizontal antara garis x=-2 dan x=2, yaitu |2 - (-2)| = 4.
Luas = 1/2 * (jumlah sisi sejajar) * tinggi
Luas = 1/2 * (AB + CD) * tinggi
Luas = 1/2 * (2 + 4) * 4
Luas = 1/2 * 6 * 4
Luas = 3 * 4
Luas = 12.

Jawaban untuk bagian 1 adalah menambahkan koordinat (2, 1) untuk melengkapi bangun trapesium. 
Jawaban untuk bagian 2 adalah luas bangun trapesium tersebut adalah 12.