|2 x^(2)-3 x|=x|2 x-3|

Himpunan solusi adalah semua $x \geq 0$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak $|2x^2 - 3x| = x|2x - 3|$, kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus berdasarkan definisi nilai mutlak.

Pertama, kita bisa memfaktorkan ekspresi di dalam nilai mutlak:
$|x(2x - 3)| = x|2x - 3|$
$|x| |2x - 3| = x|2x - 3|$

Sekarang, kita pindahkan semua suku ke satu sisi:
$|x| |2x - 3| - x|2x - 3| = 0$
$(|x| - x) |2x - 3| = 0$

Ini memberikan kita dua kemungkinan:

Kasus 1: $|2x - 3| = 0$
$2x - 3 = 0$
$2x = 3$
$x = 3/2$

Kasus 2: $|x| - x = 0$
$|x| = x$

Kondisi $|x| = x$ terpenuhi ketika $x \geq 0$. Jadi, semua nilai $x$ yang non-negatif adalah solusi untuk bagian ini.

Sekarang, kita gabungkan solusi dari kedua kasus tersebut. Kita perlu memastikan bahwa solusi dari Kasus 1 (yaitu $x = 3/2$) memenuhi kondisi dari Kasus 2 (yaitu $x \geq 0$). Karena $3/2$ adalah positif, maka $x = 3/2$ adalah solusi yang valid.

Selain itu, solusi dari Kasus 2 adalah semua $x \geq 0$. Namun, kita harus mempertimbangkan bahwa $|2x - 3|$ ada dalam persamaan. Jika $2x - 3 = 0$ (yaitu $x = 3/2$), maka persamaan menjadi $|x| \times 0 = x \times 0$, yang selalu benar. Jadi $x = 3/2$ adalah solusi.

Jika $2x - 3 \neq 0$, maka kita bisa membagi kedua sisi dengan $|2x - 3|$:
$|x| = x$
Ini berlaku untuk semua $x \geq 0$.

Jadi, himpunan solusi dari persamaan $|2x^2 - 3x| = x|2x - 3|$ adalah semua bilangan real $x$ yang memenuhi $x \geq 0$.