(23 + 8 akar(7))^(1/4)=...

$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menyederhanakan ekspresi $\sqrt[4]{23 + 8\sqrt{7}}$.
Perhatikan bahwa $(a+b\sqrt{d})^2 = a^2 + b^2d + 2ab\sqrt{d}$.
Kita coba cari bentuk $(a+b\sqrt{7})^2 = 23 + 8\sqrt{7}$.
Dengan membandingkan bentuk tersebut, kita dapatkan $2ab = 8$, sehingga $ab = 4$.
Kita juga dapatkan $a^2 + 7b^2 = 23$.
Jika kita coba nilai bulat untuk a dan b, dari $ab=4$, pasangan (a, b) yang mungkin adalah (1, 4), (2, 2), (4, 1).
Untuk (1, 4): $1^2 + 7(4^2) = 1 + 7(16) = 1 + 112 = 113 
eq 23$.
Untuk (2, 2): $2^2 + 7(2^2) = 4 + 7(4) = 4 + 28 = 32 
eq 23$.
Untuk (4, 1): $4^2 + 7(1^2) = 16 + 7(1) = 16 + 7 = 23$.
Jadi, kita temukan bahwa $23 + 8\sqrt{7} = (4+\sqrt{7})^2$.
Sehingga, $(23 + 8\sqrt{7})^{1/4} = ((4+\sqrt{7})^2)^{1/4} = (4+\sqrt{7})^{2/4} = (4+\sqrt{7})^{1/2}$.
Untuk menyederhanakan $(4+\sqrt{7})^{1/2}$, kita cari bentuk $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x+y+2\sqrt{xy}$.
Kita punya $4+\sqrt{7}$. Kita ingin mengubahnya menjadi bentuk $a+b\sqrt{c}$.
Jika kita coba bentuk $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$.
Kita punya $4+\sqrt{7}$. Ini bisa ditulis sebagai $4+2\sqrt{7/4}$.
Maka, kita cari a dan b sehingga $a+b=4$ dan $ab=7/4$.
Dari $a+b=4$, maka $b=4-a$.
Substitusikan ke $ab=7/4$: $a(4-a)=7/4 
ightarrow 4a - a^2 = 7/4 
ightarrow a^2 - 4a + 7/4 = 0$.
Gunakan rumus kuadratik: $a = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(7/4)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 7}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{4 \pm 3}{2}$.
Maka, $a = \frac{4+3}{2} = \frac{7}{2}$ atau $a = \frac{4-3}{2} = \frac{1}{2}$.
Jika $a = \frac{7}{2}$, maka $b = 4 - \frac{7}{2} = \frac{8-7}{2} = \frac{1}{2}$.
Jadi, $(4+\sqrt{7})^{1/2} = (\sqrt{\frac{7}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}})$.
Ini bisa disederhanakan lebih lanjut: $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{7}+1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$.