31. Sebuah trapesium sama kaki ABCD, dengan AB sejajar CD.

Koordinat titik D adalah (1, 7).

Pembahasan

Untuk menentukan koordinat titik D pada trapesium sama kaki ABCD, kita perlu memahami sifat-sifat trapesium sama kaki dan menggunakan konsep koordinat.

Diketahui:
Trapesium sama kaki ABCD, AB sejajar CD.
Titik A(-2, 1)
Titik B(8, 1)
Titik C(5, 7)

Sifat trapesium sama kaki:
1. Sepasang sisi sejajar (AB sejajar CD).
2. Kaki-kaki yang tidak sejajar sama panjang (AD = BC).
3. Sudut-sudut alasnya sama besar.
4. Diagonalnya sama panjang.

Karena AB sejajar CD, maka garis AB dan CD memiliki gradien yang sama. Gradien garis AB dapat dihitung dari koordinat A dan B:
Gradien AB = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (1 - 1) / (8 - (-2)) = 0 / 10 = 0.
Ini berarti garis AB adalah garis horizontal.
Karena CD sejajar AB, maka CD juga merupakan garis horizontal. Ini berarti koordinat y dari titik C dan D harus sama.
Namun, koordinat y C adalah 7, dan jika CD horizontal, maka koordinat y D juga harus 7. Ini akan membuat CD sejajar AB, tetapi bentuknya akan menjadi persegi panjang jika AD dan BC tegak lurus AB. Ini tidak sesuai dengan definisi umum trapesium yang memiliki alas berbeda panjang.

Mari kita tinjau ulang sifatnya. AB sejajar CD. Gradien AB = 0. Maka gradien CD = 0. Ini berarti y_C = y_D.
Jika y_C = 7, maka y_D = 7.

Sekarang kita gunakan sifat kaki yang sama panjang, yaitu AD = BC.
Panjang BC dapat dihitung menggunakan rumus jarak:
$BC = \\\sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}
BC = \\\
sqrt{(5 - 8)^2 + (7 - 1)^2}
BC = \\\
sqrt{(-3)^2 + (6)^2}
BC = \\\
sqrt{9 + 36}
BC = \\\
sqrt{45}

Misalkan koordinat D adalah (x, y). Karena CD sejajar AB (garis horizontal), maka y_D = y_C = 7.
Jadi D = (x, 7).

Sekarang hitung panjang AD:
$AD = \\\
sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2}
AD = \\\
sqrt{(x - (-2))^2 + (7 - 1)^2}
AD = \\\
sqrt{(x + 2)^2 + (6)^2}
AD = \\\
sqrt{(x + 2)^2 + 36}

Karena AD = BC:
$AD^2 = BC^2$
$(x + 2)^2 + 36 = 45$
$(x + 2)^2 = 45 - 36$
$(x + 2)^2 = 9$

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
x + 2 = ±3

Kasus 1: x + 2 = 3
           x = 3 - 2
           x = 1
   Jadi, D = (1, 7).

Kasus 2: x + 2 = -3
           x = -3 - 2
           x = -5
   Jadi, D = (-5, 7).

Kita perlu memeriksa mana yang membentuk trapesium ABCD dengan AB sejajar CD. Jika D = (1, 7), maka CD adalah segmen dari x=1 sampai x=5 pada y=7. Jika D = (-5, 7), maka CD adalah segmen dari x=-5 sampai x=5 pada y=7.

Dalam trapesium sama kaki ABCD dengan AB sejajar CD, urutan titik biasanya mengikuti searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam.
Jika A(-2, 1), B(8, 1), maka sisi AB mendatar. Sisi CD harus di atas atau di bawahnya. Karena C(5, 7) berada di atas A dan B, maka D juga harus berada di atas A dan B.

Jika D = (1, 7), maka koordinatnya adalah A(-2,1), B(8,1), C(5,7), D(1,7). AB sejajar CD. AD = BC. Ini adalah trapesium sama kaki yang valid.

Jika D = (-5, 7), maka koordinatnya adalah A(-2,1), B(8,1), C(5,7), D(-5,7). AB sejajar CD. AD = BC. Ini juga trapesium sama kaki yang valid.

Namun, biasanya dalam penamaan ABCD, urutan titiknya penting. Jika kita gambar titik-titiknya:
A(-2,1), B(8,1) membentuk alas bawah. C(5,7) berada di kanan atas relatif terhadap titik tengah AB. Untuk membentuk trapesium sama kaki, D harus berada di kiri atas.

Mari kita periksa vektor $\\\vec{AD}$ dan $\\\vec{BC}$.
$A(-2,1), D(x,7)$. $\\\vec{AD} = (x - (-2), 7 - 1) = (x+2, 6)$.
$B(8,1), C(5,7)$. $\\\vec{BC} = (5 - 8, 7 - 1) = (-3, 6)$.

Agar AD sejajar BC (kaki yang sama panjang dan sejajar jika itu jajar genjang, tapi di trapesium sama kaki, kaki tidak sejajar), kita perlu panjangnya sama. Kita sudah pakai.

Untuk trapesium sama kaki ABCD dengan AB sejajar CD, maka AD = BC. Kita sudah hitung D bisa (1,7) atau (-5,7).

Perhatikan posisi titik C relatif terhadap B. C berada di atas dan sedikit ke kiri dari B.
Jika kita melihat proyeksi pada sumbu x:
Proyeksi AB: dari -2 ke 8 (panjang 10)
Proyeksi CD: jika D=(1,7) dan C=(5,7), maka proyeksi CD dari 1 ke 5 (panjang 4).
Jika D=(-5,7) dan C=(5,7), maka proyeksi CD dari -5 ke 5 (panjang 10).

Dalam trapesium sama kaki, jarak horizontal dari titik ujung alas atas ke titik ujung alas bawah di bawahnya harus sama. Atau, jika kita tarik garis tinggi dari C dan D ke garis AB (atau perpanjangannya).

Titik tengah AB adalah $((-2+8)/2, (1+1)/2) = (3, 1)$.
Titik tengah CD adalah $((x+5)/2, (7+7)/2) = ((x+5)/2, 7)$.

Pada trapesium sama kaki, sumbu simetri melewati titik tengah kedua alas. Jadi, koordinat x dari titik tengah AB harus sama dengan koordinat x dari titik tengah CD.
$3 = (x+5)/2$
$6 = x+5$
$x = 1$

Jadi, koordinat titik D adalah (1, 7).

Opsi yang diberikan adalah:
A. (1, 7)
C. (0, 7)
B. (1, 6)
D. (0, 6)

Koordinat D yang kita temukan adalah (1, 7), yang sesuai dengan opsi A.