A adalah suatu himpunan bilangan. Himpunan memiliki sifat

Himpunan A adalah himpunan semua bilangan bulat (Z).

Pembahasan

Himpunan A memiliki sifat tertutup terhadap pengurangan, yang berarti jika a dan b adalah anggota A, maka a - b juga merupakan anggota A.

Diketahui dua anggota dari A adalah 4 dan 9.

a. Menunjukkan bahwa 0 e A:
Karena A tertutup terhadap pengurangan, maka 4 - 4 = 0 harus ada di A. Juga, 9 - 9 = 0 harus ada di A.

b. Menunjukkan bahwa -13 e A:
Karena 4 dan 9 ada di A, maka 4 - 9 = -5 harus ada di A.
Karena 4 dan -5 ada di A, maka 4 - (-5) = 9 harus ada di A (sudah diketahui).
Karena 9 dan 4 ada di A, maka 9 - 4 = 5 harus ada di A.
Karena 4 dan 5 ada di A, maka 4 - 5 = -1 harus ada di A.
Karena 5 dan 4 ada di A, maka 5 - 4 = 1 harus ada di A.
Karena 1 dan 4 ada di A, maka 1 - 4 = -3 harus ada di A.
Karena 4 dan 1 ada di A, maka 4 - 1 = 3 harus ada di A.
Karena 1 dan 5 ada di A, maka 1 - 5 = -4 harus ada di A.
Karena 5 dan 1 ada di A, maka 5 - 1 = 4 harus ada di A (sudah diketahui).
Karena 5 dan 9 ada di A, maka 5 - 9 = -4 harus ada di A (sudah ditemukan).
Karena 9 dan 5 ada di A, maka 9 - 5 = 4 harus ada di A (sudah diketahui).
Karena 4 dan -1 adalah anggota A, maka 4 - (-1) = 5 harus ada di A.
Karena -1 dan 4 adalah anggota A, maka -1 - 4 = -5 harus ada di A.
Karena 9 dan -5 adalah anggota A, maka 9 - (-5) = 14 harus ada di A.
Karena -5 dan 9 adalah anggota A, maka -5 - 9 = -14 harus ada di A.

Cara yang lebih efisien untuk menemukan anggota lain adalah dengan menyadari bahwa jika a dan b ada di A, maka a - b, b - a, a - (a - b) = b, b - (a - b) = 2b - a, dan seterusnya, semua ada di A. Secara umum, setiap kombinasi linear dari bentuk m*4 + n*9 (di mana m dan n adalah bilangan bulat) akan menghasilkan elemen yang terkait dengan penutupan terhadap pengurangan. Namun, karena kita hanya berurusan dengan pengurangan, kita akan melihat kelipatan dari GCD(4, 9) = 1. Jadi, semua bilangan bulat harus ada di A.

Untuk menunjukkan -13 e A:
Karena 4 e A dan 9 e A, maka 4 - 9 = -5 e A. 
Karena 4 e A dan -5 e A, maka 4 - (-5) = 9 e A.
Karena -5 e A dan 4 e A, maka -5 - 4 = -9 e A.
Karena 9 e A dan -5 e A, maka 9 - (-5) = 14 e A.
Karena 4 e A dan 14 e A, maka 4 - 14 = -10 e A.
Karena 14 e A dan 4 e A, maka 14 - 4 = 10 e A.
Karena 4 e A dan -10 e A, maka 4 - (-10) = 14 e A.
Karena -10 e A dan 4 e A, maka -10 - 4 = -14 e A.

Dengan menggunakan sifat tertutup terhadap pengurangan, jika kita memiliki x dan y di A, maka x-y juga di A. Kita tahu 4 dan 9 ada di A.
9 - 4 = 5. Jadi 5 e A.
4 - 9 = -5. Jadi -5 e A.
5 - 4 = 1. Jadi 1 e A.
4 - 5 = -1. Jadi -1 e A.
1 - 4 = -3. Jadi -3 e A.
4 - 1 = 3. Jadi 3 e A.

Karena 1 e A, maka 1 - 4 = -3 e A, 1 - 9 = -8 e A, 4 - 1 = 3 e A, 9 - 1 = 8 e A, 5 - 1 = 4 e A, 1 - 5 = -4 e A.

Jika kita memiliki 1 di A, maka kita dapat menghasilkan semua bilangan bulat dengan melakukan pengurangan berulang. Misalnya:
1 - 1 = 0 (sudah ditunjukkan)
0 - 1 = -1
-1 - 1 = -2
... jadi semua bilangan bulat negatif ada di A.
1 + 1 = 2 (yang sama dengan 1 - (-1)). Jadi semua bilangan bulat positif ada di A.

Oleh karena itu, jika 1 e A, maka semua bilangan bulat (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...) ada di A.
Kita telah menunjukkan bahwa 1 e A. Jadi, -13 e A.

c. Menunjukkan bahwa 74 e A:
Karena semua bilangan bulat ada di A, maka 74 juga ada di A.

Selanjutnya, daftarkan semua anggota himpunan A:
Himpunan A adalah himpunan semua bilangan bulat, yang dilambangkan dengan Z.
A = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}