Jika sin x=3/5, dengan x adalah sudut lancip, maka

tan 2x = 24/7 dan tan 1/2x = 1/3.

Pembahasan

Diketahui sin x = 3/5, dan x adalah sudut lancip (berarti x berada di kuadran I, di mana semua fungsi trigonometri bernilai positif).

Untuk mencari tan 2x dan tan 1/2x, kita perlu nilai cos x dan tan x terlebih dahulu.

Menggunakan identitas sin^2 x + cos^2 x = 1:
(3/5)^2 + cos^2 x = 1
9/25 + cos^2 x = 1
cos^2 x = 1 - 9/25
cos^2 x = 16/25
Karena x lancip, cos x positif, jadi cos x = 4/5.

Selanjutnya, tan x = sin x / cos x = (3/5) / (4/5) = 3/4.

Sekarang kita hitung tan 2x menggunakan rumus tan 2x = 2 tan x / (1 - tan^2 x):
tan 2x = 2 * (3/4) / (1 - (3/4)^2)
tan 2x = (3/2) / (1 - 9/16)
tan 2x = (3/2) / ((16-9)/16)
tan 2x = (3/2) / (7/16)
tan 2x = (3/2) * (16/7)
tan 2x = 3 * 8 / 7
tan 2x = 24/7

Untuk tan 1/2x, kita bisa menggunakan rumus:
tan x = 2 tan(x/2) / (1 - tan^2(x/2))
Misalkan y = tan(x/2). Maka tan x = 2y / (1 - y^2).
3/4 = 2y / (1 - y^2)
3(1 - y^2) = 4(2y)
3 - 3y^2 = 8y
3y^2 + 8y - 3 = 0
Ini adalah persamaan kuadrat dalam y. Kita bisa memfaktorkannya:
(3y - 1)(y + 3) = 0
Maka y = 1/3 atau y = -3.
Karena x adalah sudut lancip, maka x/2 pasti berada di kuadran I, sehingga tan(x/2) harus positif. Oleh karena itu, tan(x/2) = 1/3.

Jadi, tan 2x = 24/7 dan tan 1/2x = 1/3.