Pada suatu kubus ABCD.EFGH diketahui panjang diagonal ruang

Luas segitiga BDH adalah 18 akar(2) cm^2 dan luas segitiga ACE adalah 18 akar(2) cm^2.

Pembahasan

Diketahui panjang diagonal ruang kubus AG = 6 akar(3) cm. Rumus panjang diagonal ruang kubus dengan panjang sisi 's' adalah s akar(3). Jadi, s akar(3) = 6 akar(3), yang berarti panjang sisi kubus (s) adalah 6 cm. Segitiga BDH dan ACE adalah segitiga yang dibentuk oleh diagonal-diagonal bidang dan diagonal ruang kubus. Pertama, mari kita tentukan luas segitiga BDH. Dalam kubus, diagonal-diagonal bidang memiliki panjang yang sama. Panjang diagonal bidang BD dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga ABC siku-siku di B: BD^2 = AB^2 + AD^2 = s^2 + s^2 = 2s^2. Jadi, BD = s akar(2). Karena s = 6 cm, maka BD = 6 akar(2) cm. Segitiga BDH adalah segitiga siku-siku di D (karena DH tegak lurus dengan bidang ABCD, sehingga DH tegak lurus dengan BD). Sisi-sisi segitiga BDH adalah BD = 6 akar(2) cm, DH = s = 6 cm, dan BH adalah diagonal ruang dari alas BCGF. BH^2 = BC^2 + CG^2 = s^2 + s^2 = 2s^2. Jadi BH = s akar(2) = 6 akar(2) cm. Namun, segitiga BDH memiliki alas BD dan tinggi DH jika kita memproyeksikan H ke bidang alas. Perhatikan bahwa BD, DH, dan BH membentuk segitiga di ruang. Sisi-sisi segitiga BDH adalah BD, DH, dan BH. BD adalah diagonal alas ABCD, jadi BD = s sqrt(2) = 6 sqrt(2). DH adalah rusuk kubus, jadi DH = s = 6. BH adalah diagonal bidang BCGF, jadi BH = s sqrt(2) = 6 sqrt(2). Segitiga BDH memiliki sisi BD = 6 sqrt(2), DH = 6, BH = 6 sqrt(2). Ini adalah segitiga sama kaki. Untuk mencari luasnya, kita bisa menggunakan alas BD dan tinggi dari H ke BD, atau alas DH dan tinggi dari B ke DH. Perhatikan bahwa rusuk DH tegak lurus terhadap bidang ABCD, sehingga DH tegak lurus terhadap BD. Oleh karena itu, segitiga BDH adalah segitiga siku-siku di D. Luas segitiga BDH = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * BD * DH = 1/2 * (6 akar(2)) * 6 = 18 akar(2) cm^2. Sekarang, mari kita tentukan luas segitiga ACE. Sisi-sisi segitiga ACE adalah AC, CE, dan AE. AC adalah diagonal bidang ABCD, jadi AC = s akar(2) = 6 akar(2) cm. CE adalah diagonal bidang BCGF, jadi CE = s akar(2) = 6 akar(2) cm. AE adalah rusuk kubus, jadi AE = s = 6 cm. Segitiga ACE memiliki sisi AC = 6 akar(2), CE = 6 akar(2), dan AE = 6. Ini juga segitiga sama kaki. Untuk mencari luasnya, kita bisa menggunakan alas AE dan mencari tingginya, atau menggunakan alas AC dan mencari tingginya dari E ke AC. Perhatikan bahwa rusuk AE tegak lurus terhadap bidang ABCD, sehingga AE tegak lurus terhadap AC. Oleh karena itu, segitiga ACE adalah segitiga siku-siku di A. Luas segitiga ACE = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * AC * AE = 1/2 * (6 akar(2)) * 6 = 18 akar(2) cm^2.