a. Buatlah sketsa grafik f(x) = x^3 - x + 3. b. Dari grafik

Akar real terletak pada selang (-2, -1) dan dengan metode Newton Raphson, akar tersebut adalah -1.67.

Pembahasan

a. Sketsa grafik f(x) = x^3 - x + 3:
Untuk membuat sketsa, kita perlu mencari beberapa titik penting seperti titik potong sumbu x dan y, serta titik ekstrem (jika ada).
Titik potong sumbu y: f(0) = 0^3 - 0 + 3 = 3. Jadi, grafik memotong sumbu y di (0, 3).

Untuk mencari titik potong sumbu x, kita perlu menyelesaikan f(x) = 0, yaitu x^3 - x + 3 = 0. Ini adalah persamaan kubik yang sulit diselesaikan secara aljabar.

Mari kita cari turunan pertama untuk menentukan titik ekstrem:
f'(x) = 3x^2 - 1
Setel f'(x) = 0 untuk mencari titik kritis:
3x^2 - 1 = 0
3x^2 = 1
x^2 = 1/3
x = ±√(1/3) = ±1/√3

Sekarang kita cari nilai y pada titik-titik kritis ini:
Untuk x = 1/√3:
f(1/√3) = (1/√3)^3 - (1/√3) + 3 = 1/(3√3) - 1/√3 + 3 = (1 - 3)/(3√3) + 3 = -2/(3√3) + 3 ≈ -0.385 + 3 = 2.615
Untuk x = -1/√3:
f(-1/√3) = (-1/√3)^3 - (-1/√3) + 3 = -1/(3√3) + 1/√3 + 3 = (-1 + 3)/(3√3) + 3 = 2/(3√3) + 3 ≈ 0.385 + 3 = 3.385

Jadi, ada titik balik lokal di sekitar x = -0.577 (maksimum lokal) dan x = 0.577 (minimum lokal).

b. Menunjukkan bahwa fungsi ini hanya memiliki satu akar real:
Karena nilai minimum lokal (sekitar 2.615) lebih besar dari 0, dan nilai maksimum lokal (sekitar 3.385) juga lebih besar dari 0, serta fungsi cenderung ke -∞ saat x → -∞ dan ke +∞ saat x → +∞, maka grafik hanya memotong sumbu x di satu titik.

c. Menentukan selang akar real:
Kita perlu mengevaluasi fungsi di selang yang diberikan:
Jika -1 < x < 0:
f(-1) = (-1)^3 - (-1) + 3 = -1 + 1 + 3 = 3
f(0) = 3
Karena f(-1) dan f(0) keduanya positif, kita tidak bisa menyimpulkan adanya akar di selang ini hanya dari nilai ujungnya.

Jika -2 < x < -1:
f(-2) = (-2)^3 - (-2) + 3 = -8 + 2 + 3 = -3
f(-1) = 3
Karena f(-2) negatif dan f(-1) positif, maka berdasarkan Teorema Nilai Antara, terdapat akar real di selang (-2, -1).

Jika -3 < x < -2:
f(-3) = (-3)^3 - (-3) + 3 = -27 + 3 + 3 = -21
f(-2) = -3
Keduanya negatif, sehingga tidak ada jaminan akar di selang ini.

Jadi, akar real terletak pada selang -2 < x < -1.

d. Taksiran awal dan penentuan akar dengan metode Newton Raphson:
Taksiran awal (x0) dari selang (-2, -1) bisa kita ambil titik tengahnya, yaitu x0 = -1.5.

Rumus Newton Raphson: $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Iterasi 1:
$x_0 = -1.5$
$f(x_0) = f(-1.5) = (-1.5)^3 - (-1.5) + 3 = -3.375 + 1.5 + 3 = 1.125$
$f'(x_0) = f'(-1.5) = 3(-1.5)^2 - 1 = 3(2.25) - 1 = 6.75 - 1 = 5.75$
$x_1 = -1.5 - \frac{1.125}{5.75} \approx -1.5 - 0.19565 = -1.69565$

Iterasi 2:
$x_1 \approx -1.69565$
$f(x_1) = f(-1.69565) \approx (-1.69565)^3 - (-1.69565) + 3 \approx -4.875 + 1.69565 + 3 = -0.17935$
$f'(x_1) = f'(-1.69565) = 3(-1.69565)^2 - 1 \approx 3(2.8752) - 1 \approx 8.6256 - 1 = 7.6256$
$x_2 = -1.69565 - \frac{-0.17935}{7.6256} \approx -1.69565 + 0.02352 = -1.67213$

Iterasi 3:
$x_2 \approx -1.67213$
$f(x_2) = f(-1.67213) \approx (-1.67213)^3 - (-1.67213) + 3 \approx -4.6735 + 1.67213 + 3 = -0.00137$
$f'(x_2) = f'(-1.67213) = 3(-1.67213)^2 - 1 \approx 3(2.7960) - 1 \approx 8.388 - 1 = 7.388$
$x_3 = -1.67213 - \frac{-0.00137}{7.388} \approx -1.67213 + 0.000185 = -1.671945$

Meneliti sampai 2 tempat desimal, akar realnya adalah sekitar -1.67.

Jawaban Ringkas:
Fungsi f(x) = x^3 - x + 3 memiliki satu akar real di selang (-2, -1). Menggunakan metode Newton Raphson dengan taksiran awal -1.5, akar realnya adalah sekitar -1.67.