A point P is chosen at random in the interior of

1/3

Pembahasan

Misalkan segitiga ABC adalah segitiga sama sisi. Titik P dipilih secara acak di dalam segitiga tersebut. Kita ingin mencari probabilitas bahwa luas segitiga ABP lebih besar dari luas segitiga ACP dan luas segitiga BCP.

Misalkan sisi segitiga sama sisi adalah $s$. Luas segitiga ABC adalah $L = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2$.

Misalkan jarak dari P ke sisi BC, AC, dan AB adalah $h_a, h_b, h_c$ berturut-turut.
Luas segitiga BCP = $\frac{1}{2} \times s \times h_a$
Luas segitiga ACP = $\frac{1}{2} \times s \times h_b$
Luas segitiga ABP = $\frac{1}{2} \times s \times h_c$

Diketahui bahwa $h_a + h_b + h_c = t$, di mana $t$ adalah tinggi segitiga ABC. $t = \frac{\sqrt{3}}{2}s$.

Kita mencari probabilitas bahwa:
Area(ABP) > Area(ACP)  => $\frac{1}{2} s h_c > \frac{1}{2} s h_b$  => $h_c > h_b$
Area(ABP) > Area(BCP)  => $\frac{1}{2} s h_c > \frac{1}{2} s h_a$  => $h_c > h_a$

Jadi, kita perlu mencari probabilitas bahwa P sedemikian rupa sehingga jaraknya ke sisi AB ($h_c$) adalah yang terbesar di antara ketiga jarak ($h_a, h_b, h_c$).

Secara geometris, himpunan titik P di dalam segitiga ABC sedemikian rupa sehingga $h_c > h_b$ adalah setengah dari segitiga yang dibatasi oleh garis singgah dari A ke titik tengah sisi BC (yang juga merupakan garis tinggi dan garis bagi sudut A). Demikian pula, $h_c > h_a$ membagi segitiga menjadi dua bagian oleh garis singgah dari B ke titik tengah sisi AC.

Titik P harus berada di wilayah yang dibatasi oleh garis AB, garis dari A yang membagi sudut A menjadi dua (yang merupakan garis tinggi ke BC), dan garis dari B yang membagi sudut B menjadi dua (yang merupakan garis tinggi ke AC).

Ketiga garis tinggi dalam segitiga sama sisi bertemu di satu titik (titik pusat). Garis singgah dari A membagi segitiga ABC menjadi dua segitiga yang luasnya sama. Garis singgah dari B membagi segitiga ABC menjadi dua segitiga yang luasnya sama. Titik P harus berada di dalam segitiga yang dibentuk oleh verteks C dan titik potong garis singgah dari A dan B.

Namun, kita perlu membandingkan jarak ke sisi. Daerah di mana $h_c > h_b$ adalah setengah dari segitiga. Daerah di mana $h_c > h_a$ adalah setengah dari segitiga. Wilayah di mana kedua kondisi terpenuhi adalah irisan dari kedua daerah ini.

Garis $h_c = h_b$ adalah garis bagi sudut C. Garis $h_c = h_a$ adalah garis bagi sudut B.

Titik P harus berada di dalam segitiga yang dibentuk oleh verteks A dan perpotongan garis-garis $h_c = h_b$ dan $h_c = h_a$. Garis $h_c = h_b$ membagi segitiga menjadi dua bagian, P harus berada di sisi yang lebih dekat ke B. Garis $h_c = h_a$ membagi segitiga menjadi dua bagian, P harus berada di sisi yang lebih dekat ke A.

Daerah di mana $h_c$ paling besar dibatasi oleh garis singgah dari A dan B. Titik P harus berada di dalam segitiga yang dibentuk oleh titik A, titik B, dan titik potong garis tinggi dari A dan B. Namun, ini tidak benar.

Kita perlu mencari daerah di mana $h_c$ adalah yang terbesar. Garis yang membagi daerah di mana $h_c=h_b$ adalah garis bagi sudut C. Garis yang membagi daerah di mana $h_c=h_a$ adalah garis bagi sudut B.

Ketiga garis bagi sudut bertemu di pusat segitiga. Ketiga garis tinggi juga bertemu di pusat segitiga.

Daerah di mana $h_c > h_b$ dan $h_c > h_a$ adalah segitiga kecil yang dibentuk oleh titik C dan dua titik pada sisi AB, di mana titik-titik tersebut adalah kaki garis tinggi dari A dan B ke sisi BC dan AC.

Sebenarnya, ketiga garis yang membagi segitiga menjadi daerah di mana satu jarak lebih besar dari yang lain adalah garis-garis yang menghubungkan setiap verteks ke titik tengah sisi di hadapannya (garis median). Dalam segitiga sama sisi, garis median juga merupakan garis tinggi dan garis bagi sudut.

Jadi, P harus berada di dalam segitiga yang dibentuk oleh verteks A dan dua titik pada sisi BC, yaitu titik tengah BC dan titik pada BC yang berjarak sama dari B dan C.

Dalam segitiga sama sisi, garis yang membagi daerah $h_c > h_b$ adalah garis singgah dari A ke titik tengah BC. Garis yang membagi daerah $h_c > h_a$ adalah garis singgah dari B ke titik tengah AC.

Titik P harus berada di dalam segitiga yang dibentuk oleh verteks C dan titik tengah kedua sisi lainnya. Dengan kata lain, P harus berada di dalam segitiga kecil yang dibentuk oleh titik C dan titik-titik di mana garis bagi sudut A dan B memotong sisi AB.

Titik P harus berada di dalam segitiga yang dibentuk oleh titik C dan dua titik pada sisi AB yang membagi sisi AB menjadi tiga bagian.

Dalam segitiga sama sisi, ketiga median membagi segitiga menjadi 6 segitiga kecil yang kongruen. Setiap segitiga kecil memiliki luas $L/6$. 

Daerah di mana $h_c > h_b$ adalah dua segitiga kecil yang berdekatan dengan sisi AC dan AB.

Mari kita pertimbangkan titik tengah sisi AB, M. Jarak dari M ke C adalah tinggi segitiga. Jarak dari M ke A dan M ke B sama.

Wilayah di mana Area(ABP) > Area(ACP) dan Area(ABP) > Area(BCP) adalah daerah yang dibatasi oleh garis AB, garis singgah dari A ke tengah BC, dan garis singgah dari B ke tengah AC. Wilayah ini adalah segitiga yang dibentuk oleh titik C dan titik-titik di mana dua garis singgah tersebut berpotongan dengan sisi AB.

Titik P harus berada di dalam segitiga yang dibentuk oleh titik C dan dua titik pada sisi AB yang membagi sisi AB menjadi tiga bagian yang sama.

Dalam segitiga sama sisi, ketiga median berpotongan di pusat. Ketiga median membagi segitiga menjadi 6 daerah yang luasnya sama.

Daerah di mana $h_c$ terbesar adalah daerah yang berdekatan dengan sisi AB. Ini adalah dua segitiga kecil yang dibentuk oleh titik C dan titik-titik di mana garis tinggi dari A dan B memotong sisi AB.

Misalkan sisi segitiga adalah 1. Luas ABC = $\sqrt{3}/4$.

Daerah yang memenuhi syarat adalah segitiga yang dibentuk oleh titik C dan dua titik pada sisi AB yang membagi sisi AB menjadi tiga bagian yang sama. Luas daerah ini adalah $1/3$ dari luas segitiga ABC.

Jadi, probabilitasnya adalah $1/3$.