a.Tentukan koordinat titik stasioner dari kurva

Titik stasioner adalah (0, 27) (titik belok horizontal) dan (3, 0) (titik balik minimum lokal).

Pembahasan

Untuk menentukan titik stasioner dan jenisnya dari kurva y = x⁴ - 4x³ + 27, kita perlu menggunakan kalkulus.

a. Menentukan koordinat titik stasioner:
Titik stasioner terjadi ketika turunan pertama dari fungsi sama dengan nol (y' = 0).

Langkah 1: Cari turunan pertama dari y terhadap x.
y = x⁴ - 4x³ + 27
y' = d/dx (x⁴ - 4x³ + 27)
y' = 4x³ - 12x²

Langkah 2: Atur turunan pertama sama dengan nol dan selesaikan untuk x.
4x³ - 12x² = 0
Faktorkan 4x²:
4x²(x - 3) = 0

Dari sini, kita mendapatkan dua kemungkinan nilai x:
4x² = 0  => x² = 0  => x = 0
x - 3 = 0  => x = 3

Langkah 3: Substitusikan nilai x kembali ke fungsi asli y = x⁴ - 4x³ + 27 untuk menemukan koordinat y.
Untuk x = 0:
y = (0)⁴ - 4(0)³ + 27
y = 0 - 0 + 27
y = 27
Jadi, salah satu titik stasioner adalah (0, 27).

Untuk x = 3:
y = (3)⁴ - 4(3)³ + 27
y = 81 - 4(27) + 27
y = 81 - 108 + 27
y = 0
Jadi, titik stasioner lainnya adalah (3, 0).

Koordinat titik stasioner adalah (0, 27) dan (3, 0).

b. Menentukan jenis titik stasioner:
Kita gunakan turunan kedua (y'') untuk menentukan jenis titik stasioner.

Langkah 1: Cari turunan kedua dari y.
y' = 4x³ - 12x²
y'' = d/dx (4x³ - 12x²)
y'' = 12x² - 24x

Langkah 2: Uji nilai x dari titik stasioner ke dalam turunan kedua.
Untuk x = 0:
y'' = 12(0)² - 24(0)
y'' = 0 - 0
y'' = 0
Karena turunan kedua adalah 0, kita perlu menggunakan uji turunan pertama untuk menentukan jenis titik stasioner di (0, 27). Kita uji nilai x di sekitar 0:
Jika x = -1 (sebelum 0), y' = 4(-1)³ - 12(-1)² = -4 - 12 = -16 (negatif, fungsi menurun).
Jika x = 1 (setelah 0), y' = 4(1)³ - 12(1)² = 4 - 12 = -8 (negatif, fungsi menurun).
Karena fungsi menurun sebelum dan sesudah x = 0, maka (0, 27) adalah titik belok horizontal.

Untuk x = 3:
y'' = 12(3)² - 24(3)
y'' = 12(9) - 72
y'' = 108 - 72
y'' = 36
Karena y'' > 0 saat x = 3, maka titik stasioner di (3, 0) adalah titik balik minimum lokal (minimum minimum).

Jenis titik stasioner:
(0, 27) adalah titik belok horizontal.
(3, 0) adalah titik balik minimum lokal.

c. Sketsa grafik kurva:
Untuk membuat sketsa grafik, kita perlu informasi tambahan seperti:
- Titik potong sumbu y: Ketika x = 0, y = 27. Jadi, titik potong sumbu y adalah (0, 27).
- Titik potong sumbu x: Kita perlu menyelesaikan y = 0, yaitu x⁴ - 4x³ + 27 = 0. Ini sulit diselesaikan secara aljabar tanpa alat bantu numerik.
- Perilaku ujung grafik: Karena pangkat tertinggi adalah 4 (genap) dan koefisiennya positif, maka grafik akan naik ke kiri dan ke kanan (menuju +∞).

Dengan titik stasioner (0, 27) sebagai titik belok horizontal dan (3, 0) sebagai titik balik minimum lokal, serta perilaku ujung grafik, kita bisa membuat sketsa kasar. Grafik akan turun dari kiri atas, mencapai titik belok horizontal di (0, 27), terus turun hingga mencapai titik balik minimum di (3, 0), lalu naik ke kanan atas.