a. Tunjukkan bahwa (x-2) merupakan faktor dari polinom f(x)

a. f(2)=0, b. m=8, c. (3x-1)

Pembahasan

Diketahui polinom f(x) = 3x^3 - (m+5)x^2 + 2mx - 4.

a. Menunjukkan bahwa (x-2) merupakan faktor dari f(x):
Menurut Teorema Faktor, (x-a) adalah faktor dari f(x) jika f(a) = 0.
Jadi, kita perlu memeriksa apakah f(2) = 0.
f(2) = 3(2)^3 - (m+5)(2)^2 + 2m(2) - 4
f(2) = 3(8) - (m+5)(4) + 4m - 4
f(2) = 24 - 4m - 20 + 4m - 4
f(2) = 24 - 20 - 4 - 4m + 4m
f(2) = 0
Karena f(2) = 0, maka (x-2) merupakan faktor dari f(x) untuk semua nilai m.

b. Agar (x-2)^2 merupakan faktor dari f(x):
Jika (x-2)^2 adalah faktor dari f(x), maka (x-2) juga merupakan faktor dari f'(x) (turunan pertama dari f(x)).
f'(x) = d/dx (3x^3 - (m+5)x^2 + 2mx - 4)
f'(x) = 9x^2 - 2(m+5)x + 2m

Kita perlu memeriksa apakah f'(2) = 0.
f'(2) = 9(2)^2 - 2(m+5)(2) + 2m
f'(2) = 9(4) - 4(m+5) + 2m
f'(2) = 36 - 4m - 20 + 2m
f'(2) = 16 - 2m

Agar f'(2) = 0, maka:
16 - 2m = 0
2m = 16
m = 8
Jadi, agar (x-2)^2 merupakan faktor dari f(x), nilai m haruslah 8.

c. Menentukan faktor yang lainnya dari f(x):
Ketika m = 8, polinomnya menjadi:
f(x) = 3x^3 - (8+5)x^2 + 2(8)x - 4
f(x) = 3x^3 - 13x^2 + 16x - 4

Karena (x-2)^2 adalah faktor, kita bisa membagikan f(x) dengan (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4.

Dengan pembagian polinomial:
(3x^3 - 13x^2 + 16x - 4) / (x^2 - 4x + 4) = 3x - 1

Jadi, faktor yang lainnya dari f(x) adalah (3x - 1).