Acara kuis Berpacu dalam Hadiah yang ditayangkan stasiun TV

Jumlah susunan bergantung pada interpretasi soal. Jika 3 peserta regu B berdekatan, hasilnya 10! * 3!. Jika juru bicara di tengah, hasilnya 11!.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung jumlah susunan yang berbeda dari 4 regu, masing-masing terdiri dari 3 orang, dengan kondisi tertentu. Total ada 12 peserta (4 regu x 3 orang/regu).

a. Jika juara bertahan ditempatkan pada regu B:
Ini berarti kita perlu mengatur 3 orang dalam regu B, dan kemudian mengatur regu A, C, dan D. Namun, soal ini lebih mengarah pada pengaturan susunan regu itu sendiri atau peserta dalam regu. Jika yang dimaksud adalah berapa banyak cara menempatkan 12 peserta dimana 3 peserta dari 'juara bertahan' harus berada di regu B:
Ini adalah interpretasi yang kurang jelas. Mari kita asumsikan bahwa 'juara bertahan' merujuk pada penempatan salah satu dari 12 peserta.

Alternatif interpretasi: Berapa banyak cara menempatkan 4 regu (masing-masing 3 orang) jika regu B adalah juara bertahan dan posisinya tetap?
Ini masih ambigu. Mari kita coba interpretasi lain yang lebih umum dalam soal permutasi:

Jika yang dimaksud adalah penempatan 12 peserta dalam satu baris, dan kita ingin tahu berapa banyak susunan jika 3 orang dari regu B harus berada bersama di posisi tertentu:

Asumsi paling masuk akal: Berapa banyak susunan berbeda dari 12 peserta (3 dari A, 3 dari B, 3 dari C, 3 dari D) jika 3 peserta dari regu B harus menempati 3 posisi tertentu (misalnya, 3 posisi pertama)?
Jika 3 peserta regu B menempati 3 posisi pertama, ada 3! cara untuk menyusun mereka. Sisa 9 peserta dapat disusun dalam 9! cara di 9 posisi sisanya. Total = 3! * 9!.

Jika 'juara bertahan ditempatkan pada regu B' berarti kita hanya peduli pada susunan regu itu sendiri, atau jika ada satu orang 'juara bertahan' yang harus di regu B:

Mari kita kembali ke pertanyaan asli: "berapa banyak susunan yang berbeda yang dapat dibuat jika juara bertahan ditempatkan pada regu B?". Ini bisa berarti: 3 orang di regu B memiliki urutan tertentu, dan regu lain juga memiliki susunan peserta.

Interpretasi yang paling umum untuk soal semacam ini adalah pengaturan orang.

Misalkan kita menyusun 12 orang.

a. Juara bertahan ditempatkan pada regu B: Ini sangat ambigu. Jika ada 1 juara bertahan, dan dia ditempatkan di regu B, maka ada 1 cara memilih juara bertahan (jika dia sudah ditentukan), dan 3 cara menempatkannya di regu B. Lalu sisanya diatur. 

Jika maksudnya adalah 'Jika regu B adalah juara bertahan', dan kita hanya mengatur susunan internal regu:
- Regu B: 3! cara menyusun 3 peserta.
- Regu A, C, D: Masing-masing 3! cara menyusun peserta.
Total = 3! * 3! * 3! * 3! = 6 * 6 * 6 * 6 = 1296.

Jika maksudnya adalah 12 peserta berbaris, dan 3 peserta dari regu B harus berdekatan (sebagai satu blok):
Anggap 3 peserta regu B sebagai satu unit. Maka kita punya unit (BBB), A1, A2, A3, C1, C2, C3, D1, D2, D3. Total ada 10 unit. Ini bisa diatur dalam 10! cara. Dalam unit (BBB), 3 orang bisa diatur dalam 3! cara. Jadi, total susunan = 10! * 3!.

Karena pilihan jawaban tidak diberikan, mari kita fokus pada interpretasi yang paling lugas dari soal.

Jika pertanyaan ini tentang 'penempatan peserta dalam barisan', dan 'juara bertahan ditempatkan pada regu B' berarti 3 orang dari regu B memiliki tempat yang ditentukan atau urutan tertentu:

Mari kita asumsikan susunan 12 peserta dalam satu baris.

a. Juara bertahan ditempatkan pada regu B: Ini bisa berarti bahwa 3 orang dari regu B harus berada di posisi tertentu (misalnya, 3 posisi pertama) atau ada 1 orang 'juara bertahan' yang sudah pasti masuk regu B.

Jika 3 orang dari regu B harus berada bersama di blok tertentu: Anggap 3 orang regu B sebagai satu blok. Maka ada 10 entitas (blok B, 3 A, 3 C, 3 D). Jumlah susunan = 10! * 3! (karena 3 orang di regu B bisa diatur dalam 3! cara).

Jika maksudnya adalah penempatan individu:
Ada 12 posisi. Pilih 3 posisi untuk regu B: C(12, 3) cara. Susun 3 orang regu B di posisi itu: 3! cara. Susun sisa 9 orang di 9 posisi tersisa: 9! cara. Total = C(12, 3) * 3! * 9! = P(12, 3) * 9! = (12! / (12-3)!) * 9! = (12! / 9!) * 9! = 12!.

Interpretasi yang lebih sederhana: Berapa banyak cara menyusun 12 peserta, jika 3 peserta regu B harus menempati 3 tempat yang berurutan, dan regu B adalah 'juara bertahan' (yang mungkin menyiratkan mereka di depan atau di posisi khusus).
Jika 3 orang regu B menempati 3 posisi pertama: 3! cara untuk menyusun mereka, 9! cara untuk menyusun sisanya. Total = 3! * 9!.

b. Juru bicara selalu di tengah?
Jika 'di tengah' berarti posisi ke-6 dari 12 peserta.
Asumsikan ada 1 juru bicara dari seluruh peserta yang harus di tengah. Maka ada 1 cara menempatkan juru bicara di posisi tengah. Sisa 11 peserta dapat diatur dalam 11! cara. Total = 11!.

Jika 'juru bicara' adalah salah satu dari 3 orang di setiap regu, dan kita hanya mengatur susunan internal regu:
Dalam setiap regu, ada 3 orang. Juru bicara harus di tengah. Maka ada 1 cara untuk menempatkan juru bicara di posisi tengah regu. 2 orang sisanya bisa diatur dalam 2! cara. Jadi untuk satu regu, ada 1 * 2! = 2 cara. Karena ada 4 regu, total susunan = 2 * 2 * 2 * 2 = 16.

Jika maksudnya adalah 12 peserta berbaris, dan salah satu juru bicara (misalnya dari regu A) harus di tengah (posisi ke-6).
Asumsikan ada 1 juru bicara yang ditentukan (misal, juru bicara regu A). Dia harus di posisi ke-6. Maka ada 1 cara menempatkannya. Sisa 2 orang regu A bisa diatur di posisi lain dalam 2! cara. Sisa 9 peserta (dari regu B, C, D) bisa diatur di 9 posisi tersisa dalam 9! cara. Total = 1 * 2! * 9! = 2 * 9!.

Soal ini sangat bergantung pada interpretasi arti 'juara bertahan ditempatkan pada regu B' dan 'juru bicara selalu di tengah'. Tanpa gambar atau konteks lebih lanjut, jawaban bisa bervariasi.

Mari kita coba interpretasi yang paling umum dalam soal permutasi:

a. Berapa banyak susunan berbeda dari 12 peserta jika 3 peserta dari regu B harus ditempatkan dalam 3 posisi yang berdekatan (sebagai satu blok)?
Anggap 3 peserta regu B sebagai satu unit (B). Maka kita punya 10 unit untuk diatur (B, A1, A2, A3, C1, C2, C3, D1, D2, D3). Ini dapat diatur dalam 10! cara. Di dalam unit (B), 3 peserta dapat diatur dalam 3! cara. Jadi, total susunan = 10! * 3! = 3.628.800 * 6 = 21.772.800.

b. Berapa banyak susunan berbeda dari 12 peserta jika juru bicara (misalnya, salah satu dari 12 orang) harus selalu di posisi tengah (posisi ke-6)?
Ada 12 posisi. Posisi ke-6 ditempati oleh juru bicara (1 cara). Sisa 11 peserta dapat diatur dalam 11! cara di 11 posisi yang tersisa. Jadi, total susunan = 1 * 11! = 39.916.800.