Agar kurva parabola y=(a-1)x^2-(a-1)x+2 tidak memotong

1 ≤ a ≤ 9

Pembahasan

Agar kurva parabola y=(a-1)x^2-(a-1)x+2 tidak memotong sumbu X di dua titik, artinya parabola tersebut menyinggung sumbu X di satu titik atau tidak memotong sumbu X sama sekali. Kondisi ini terpenuhi jika diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut kurang dari atau sama dengan nol (D ≤ 0).

Persamaan parabola adalah y = Ax^2 + Bx + C, di mana:
A = a - 1
B = -(a - 1)
C = 2

Diskriminan dihitung dengan rumus D = B^2 - 4AC.

Substitusikan nilai A, B, dan C ke dalam rumus diskriminan:
D = (-(a - 1))^2 - 4 * (a - 1) * 2
D = (a - 1)^2 - 8(a - 1)

Sekarang, kita tetapkan D ≤ 0:
(a - 1)^2 - 8(a - 1) ≤ 0

Kita bisa memfaktorkan (a - 1) keluar:
(a - 1) * [(a - 1) - 8] ≤ 0
(a - 1) * (a - 9) ≤ 0

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita cari nilai-nilai kritis di mana (a - 1)(a - 9) = 0, yaitu a = 1 dan a = 9.

Selanjutnya, kita uji interval yang dibentuk oleh nilai-nilai kritis ini:
1. Interval a < 1: Pilih a = 0. Maka (0 - 1)(0 - 9) = (-1)(-9) = 9. Karena 9 > 0, interval ini tidak memenuhi.
2. Interval 1 < a < 9: Pilih a = 5. Maka (5 - 1)(5 - 9) = (4)(-4) = -16. Karena -16 < 0, interval ini memenuhi.
3. Interval a > 9: Pilih a = 10. Maka (10 - 1)(10 - 9) = (9)(1) = 9. Karena 9 > 0, interval ini tidak memenuhi.

Kita juga perlu mempertimbangkan kasus di mana a = 1 atau a = 9, karena pertidaksamaannya adalah "≤ 0".
Jika a = 1, maka A = 1 - 1 = 0. Persamaan menjadi y = 0x^2 - 0x + 2, atau y = 2. Ini adalah garis horizontal yang tidak memotong sumbu X sama sekali. Jadi, a = 1 memenuhi kondisi.

Jika a = 9, maka D = (9 - 1)(9 - 9) = 8 * 0 = 0. Parabola menyinggung sumbu X di satu titik. Jadi, a = 9 memenuhi kondisi.

Menggabungkan hasil pengujian interval dan kasus batas, kita mendapatkan bahwa pertidaksamaan (a - 1)(a - 9) ≤ 0 terpenuhi ketika 1 ≤ a ≤ 9.

Jadi, batasan nilai a yang memenuhi agar kurva parabola tidak memotong sumbu X di dua titik adalah 1 ≤ a ≤ 9.