Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathTrigonometri

Agar persamaan 2 sin x-m cos x=2 akar(5) dapat

Pertanyaan

Agar persamaan 2 sin x-m cos x=2 akar(5) dapat diselesaikan, maka nilai m yang memenuhi adalah ...

Solusi

Verified

Nilai m yang memenuhi adalah m ≤ -4 atau m ≥ 4.

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah 2 sin x - m cos x = 2√5. Bentuk umum persamaan trigonometri semacam ini adalah a sin x + b cos x = c. Dalam kasus ini, a = 2, b = -m, dan c = 2√5. Agar persamaan ini dapat diselesaikan, nilai c harus berada dalam rentang nilai minimum dan maksimum dari ekspresi a sin x + b cos x. Nilai maksimum dan minimum dari a sin x + b cos x adalah ±√(a² + b²). Jadi, agar persamaan 2 sin x - m cos x = 2√5 memiliki solusi, harus berlaku: -√(2² + (-m)²) ≤ 2√5 ≤ √(2² + (-m)²) -√(4 + m²) ≤ 2√5 ≤ √(4 + m²) Kita hanya perlu mempertimbangkan salah satu sisi ketidaksetaraan, misalnya: 2√5 ≤ √(4 + m²) Kuadratkan kedua sisi: (2√5)² ≤ (√(4 + m²))² 4 * 5 ≤ 4 + m² 20 ≤ 4 + m² 20 - 4 ≤ m² 16 ≤ m² Ini berarti m² harus lebih besar dari atau sama dengan 16. Akarnya adalah m ≤ -4 atau m ≥ 4. Namun, soal menanyakan nilai m yang memenuhi agar persamaan dapat diselesaikan. Ini berarti harus ada setidaknya satu solusi. Kondisi agar persamaan a sin x + b cos x = c memiliki solusi adalah |c| ≤ √(a² + b²). Dalam kasus ini, |2√5| ≤ √(2² + (-m)²) 2√5 ≤ √(4 + m²) (2√5)² ≤ 4 + m² 20 ≤ 4 + m² 16 ≤ m² Ini berarti m bisa bernilai ±4 atau lebih besar/kecil dari itu. Namun, seringkali dalam konteks soal seperti ini, yang dimaksud adalah nilai mutlak dari m. Jika kita kembali ke bentuk R sin(x - α) atau R cos(x + α), maka R = √(a² + b²). Dalam kasus ini, R = √(2² + (-m)²) = √(4 + m²). Persamaan menjadi R sin(x - α) = 2√5. Agar ada solusi, nilai 2√5 harus lebih kecil atau sama dengan R. 2√5 ≤ √(4 + m²) 20 ≤ 4 + m² 16 ≤ m² Jika kita menganggap m sebagai konstanta yang dicari, maka nilai m yang memenuhi adalah ketika m² ≥ 16, yang berarti m ≤ -4 atau m ≥ 4. Namun, jika soal mengimplikasikan nilai absolut m, maka |m| ≥ 4. Jika hanya ada satu nilai yang diharapkan, seringkali nilai positif yang diambil. Mari kita cek kembali. Persamaan a sin x + b cos x dapat ditulis sebagai R cos(x - α) dengan R = √(a² + b²). Dalam kasus kita, 2 sin x - m cos x. Kita bisa tulis sebagai R sin(x + α) atau R cos(x + α). Misalkan kita gunakan R sin(x + α) = R(sin x cos α + cos x sin α). Membandingkan dengan 2 sin x - m cos x, kita dapatkan: R cos α = 2 R sin α = -m R = √(2² + (-m)²) = √(4 + m²). Persamaan menjadi R sin(x + α) = 2√5. Agar ada solusi, nilai 2√5 harus berada dalam rentang [-R, R]. Jadi, |2√5| ≤ R 2√5 ≤ √(4 + m²) 20 ≤ 4 + m² 16 ≤ m² Ini berarti m harus memenuhi m ≤ -4 atau m ≥ 4. Jika yang ditanyakan adalah nilai tunggal, kemungkinan ada konteks tambahan atau interpretasi yang diinginkan. Seringkali, soal semacam ini meminta nilai minimum atau maksimum dari |m| agar persamaan memiliki solusi, yaitu |m| = 4. Jika kita asumsikan pertanyaan mencari nilai mutlak m agar persamaan memiliki solusi, maka nilai m yang memenuhi adalah ketika |m| ≥ 4. Nilai terkecil dari |m| adalah 4. Jadi, nilai m yang memenuhi adalah m ≤ -4 atau m ≥ 4.
Topik: Persamaan Trigonometri
Section: Bentuk A Sin X B Cos X

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...