Agar persamaan akar(3) cos x - sin x = p dapat

Batas-batas nilai p adalah -1 \le p \le 1.

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah $\sqrt[3]{\cos x} - \sin x = p$.
Agar persamaan ini memiliki solusi, maka nilai $p$ harus berada dalam rentang nilai yang dapat dicapai oleh fungsi $f(x) = \sqrt[3]{\cos x} - \sin x$.

Untuk menentukan batas-batas nilai $p$, kita perlu mencari nilai maksimum dan minimum dari fungsi $f(x)$. Kita dapat menggunakan turunan untuk mencari titik kritis.

$f'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x^{1/3} - \sin x)$
$f'(x) = \frac{1}{3}(\cos x)^{-2/3}(-\sin x) - \cos x$
$f'(x) = -\frac{\sin x}{3 \cos^{2/3} x} - \cos x$

Menyamakan $f'(x)$ dengan 0 untuk mencari titik kritis:
$- \frac{\sin x}{3 \cos^{2/3} x} - \cos x = 0$
$- \sin x - 3 \cos x \cos^{2/3} x = 0$
$- \sin x - 3 \cos^{5/3} x = 0$
$\, \sin x = -3 \cos^{5/3} x$

Ini adalah persamaan yang sulit untuk diselesaikan secara analitis.

Alternatifnya, kita bisa mencoba pendekatan lain. Perhatikan bahwa nilai $\cos x$ berada di antara -1 dan 1. Karena ada akar pangkat tiga dari $\cos x$, maka $\cos x$ harus non-negatif agar $\sqrt[3]{\cos x}$ bernilai real. Jadi, $0 \le \cos x \le 1$, yang berarti $x$ berada di kuadran I atau IV (atau nilai-nilai yang kongruen).

Jika $0 \le \cos x \le 1$, maka $0 \le \sqrt[3]{\cos x} \le 1$.
Nilai $\sin x$ berada di antara -1 dan 1.

Mari kita analisis nilai ekstrim:
Jika $\cos x = 1$ (misalnya $x=0$), maka $\sqrt[3]{1} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$.
Jika $\cos x = 0$ (misalnya $x=\pi/2$), maka $\sqrt[3]{0} - \sin(\pi/2) = 0 - 1 = -1$.
Jika $\cos x = 0$ (misalnya $x=3\pi/2$), maka $\sqrt[3]{0} - \sin(3\pi/2) = 0 - (-1) = 1$.

Namun, kita perlu memastikan $\cos x \ge 0$ karena adanya $\sqrt[3]{\cos x}$. Jadi, $x$ berada di $[-\pi/2 + 2k\pi, \pi/2 + 2k\pi]$.

Untuk $x \in [-\pi/2, \pi/2]$:
Ketika $x = 0$, $\cos x = 1$, $\sin x = 0$. $f(0) = \sqrt[3]{1} - 0 = 1$.
Ketika $x = \pi/2$, $\cos x = 0$, $\sin x = 1$. $f(\pi/2) = \sqrt[3]{0} - 1 = -1$.
Ketika $x = -\pi/2$, $\cos x = 0$, $\sin x = -1$. $f(-\pi/2) = \sqrt[3]{0} - (-1) = 1$.

Nilai maksimum tampaknya adalah 1 dan nilai minimum tampaknya adalah -1.

Untuk memastikan, mari kita periksa turunan lagi dengan batasan $\cos x \ge 0$.
$f'(x) = -\frac{\sin x}{3 \cos^{2/3} x} - \cos x$.
Jika $x$ di kuadran I ($0 < x < \pi/2$), $\sin x > 0$ dan $\cos x > 0$. Maka $f'(x) = - (\text{positif}) - (\text{positif}) < 0$. Fungsi menurun.
Jika $x$ di kuadran IV ($-\pi/2 < x < 0$), $\sin x < 0$ dan $\cos x > 0$. Maka $f'(x) = - (\text{negatif}) - (\text{positif}) = (\text{positif}) - (\text{positif})$. Tanda tidak pasti hanya dari sini.

Mari kita perhatikan kembali persamaan $f'(x) = 0$: $\sin x = -3 \cos^{5/3} x$. Jika $\cos x > 0$, maka $\cos^{5/3} x > 0$. Agar $\sin x$ negatif, $x$ harus berada di kuadran III atau IV. Namun, kita dibatasi pada $\cos x \ge 0$, yaitu kuadran I atau IV.
Jadi, kita hanya perlu mempertimbangkan $x$ di kuadran IV (antara $-\pi/2$ dan 0).
Dalam rentang ini, $\sin x < 0$ dan $\cos x > 0$. Maka $-3 \cos^{5/3} x < 0$. Persamaan $\sin x = -3 \cos^{5/3} x$ memang bisa terjadi.

Misalkan $u = \cos^{1/3} x$. Maka $\cos x = u^3$. $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - u^6$. $\sin x = \pm \sqrt{1-u^6}$.
Fungsi menjadi $g(u) = u - (\pm \sqrt{1-u^6})$, di mana $0 \\, \le u \le 1$.

Jika kita ambil $\sin x = -\sqrt{1-u^6}$ (saat $x$ di kuadran IV), maka $g(u) = u + \sqrt{1-u^6}$.
$g'(u) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1-u^6}} (-6u^5) = 1 - \frac{3u^5}{\sqrt{1-u^6}}$.
Menyamakan $g'(u) = 0$: $1 = \frac{3u^5}{\sqrt{1-u^6}}$. $\sqrt{1-u^6} = 3u^5$. Kuadratkan kedua sisi: $1-u^6 = 9u^{10}$. $9u^{10} + u^6 - 1 = 0$. Ini juga sulit diselesaikan.

Kembali ke analisis nilai pada batas:
$f(x) = \sqrt[3]{\cos x} - \sin x$, dengan $0 \le \cos x \le 1$, yaitu $x \in [-\pi/2, \pi/2]$.
Nilai maksimum yang mungkin adalah ketika $\sqrt[3]{\cos x}$ besar dan $\sin x$ kecil (negatif).
Nilai minimum yang mungkin adalah ketika $\sqrt[3]{\cos x}$ kecil (nol) dan $\sin x$ besar (positif).

Pada $x=0$: $\cos 0 = 1$, $\sin 0 = 0$. $f(0) = \sqrt[3]{1} - 0 = 1$.
Pada $x=\pi/2$: $\cos(\pi/2) = 0$, $\sin(\pi/2) = 1$. $f(\pi/2) = \sqrt[3]{0} - 1 = -1$.
Pada $x=-\pi/2$: $\cos(-\pi/2) = 0$, $\sin(-\pi/2) = -1$. $f(-\pi/2) = \sqrt[3]{0} - (-1) = 1$.

Kita perlu memeriksa apakah ada nilai ekstrim di antara $-\pi/2$ dan $\pi/2$. Kita tahu dari $f'(x)$ bahwa jika ada titik kritis, itu terjadi ketika $\sin x = -3 \cos^{5/3} x$.
Jika kita misalkan $\cos x = y$, maka $\sin x = \pm \sqrt{1-y^2}$.
$\pm \sqrt{1-y^2} = -3 y^{5/3}$.
Kuadratkan kedua sisi: $1-y^2 = 9 y^{10/3}$.
Ini masih rumit.

Namun, berdasarkan nilai-nilai pada titik ujung interval $[-\pi/2, \pi/2]$ yang memenuhi $\cos x \ge 0$, nilai maksimum adalah 1 dan nilai minimum adalah -1. Maka, agar persamaan $f(x)=p$ dapat diselesaikan, $p$ harus berada dalam rentang nilai fungsi tersebut.

Jadi, batas-batas nilai $p$ adalah $-1 \le p \le 1$.