Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11Kelas 12mathTrigonometri

Agar persamaan akar(3) cos x - sin x = p dapat

Pertanyaan

Agar persamaan $\sqrt[3]{\cos x} - \sin x = p$ dapat diselesaikan, maka batas-batas nilai $p$ adalah....

Solusi

Verified

Batas-batas nilai p adalah -1 \le p \le 1.

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah $\sqrt[3]{\cos x} - \sin x = p$. Agar persamaan ini memiliki solusi, maka nilai $p$ harus berada dalam rentang nilai yang dapat dicapai oleh fungsi $f(x) = \sqrt[3]{\cos x} - \sin x$. Untuk menentukan batas-batas nilai $p$, kita perlu mencari nilai maksimum dan minimum dari fungsi $f(x)$. Kita dapat menggunakan turunan untuk mencari titik kritis. $f'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x^{1/3} - \sin x)$ $f'(x) = \frac{1}{3}(\cos x)^{-2/3}(-\sin x) - \cos x$ $f'(x) = -\frac{\sin x}{3 \cos^{2/3} x} - \cos x$ Menyamakan $f'(x)$ dengan 0 untuk mencari titik kritis: $- \frac{\sin x}{3 \cos^{2/3} x} - \cos x = 0$ $- \sin x - 3 \cos x \cos^{2/3} x = 0$ $- \sin x - 3 \cos^{5/3} x = 0$ $\, \sin x = -3 \cos^{5/3} x$ Ini adalah persamaan yang sulit untuk diselesaikan secara analitis. Alternatifnya, kita bisa mencoba pendekatan lain. Perhatikan bahwa nilai $\cos x$ berada di antara -1 dan 1. Karena ada akar pangkat tiga dari $\cos x$, maka $\cos x$ harus non-negatif agar $\sqrt[3]{\cos x}$ bernilai real. Jadi, $0 \le \cos x \le 1$, yang berarti $x$ berada di kuadran I atau IV (atau nilai-nilai yang kongruen). Jika $0 \le \cos x \le 1$, maka $0 \le \sqrt[3]{\cos x} \le 1$. Nilai $\sin x$ berada di antara -1 dan 1. Mari kita analisis nilai ekstrim: Jika $\cos x = 1$ (misalnya $x=0$), maka $\sqrt[3]{1} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$. Jika $\cos x = 0$ (misalnya $x=\pi/2$), maka $\sqrt[3]{0} - \sin(\pi/2) = 0 - 1 = -1$. Jika $\cos x = 0$ (misalnya $x=3\pi/2$), maka $\sqrt[3]{0} - \sin(3\pi/2) = 0 - (-1) = 1$. Namun, kita perlu memastikan $\cos x \ge 0$ karena adanya $\sqrt[3]{\cos x}$. Jadi, $x$ berada di $[-\pi/2 + 2k\pi, \pi/2 + 2k\pi]$. Untuk $x \in [-\pi/2, \pi/2]$: Ketika $x = 0$, $\cos x = 1$, $\sin x = 0$. $f(0) = \sqrt[3]{1} - 0 = 1$. Ketika $x = \pi/2$, $\cos x = 0$, $\sin x = 1$. $f(\pi/2) = \sqrt[3]{0} - 1 = -1$. Ketika $x = -\pi/2$, $\cos x = 0$, $\sin x = -1$. $f(-\pi/2) = \sqrt[3]{0} - (-1) = 1$. Nilai maksimum tampaknya adalah 1 dan nilai minimum tampaknya adalah -1. Untuk memastikan, mari kita periksa turunan lagi dengan batasan $\cos x \ge 0$. $f'(x) = -\frac{\sin x}{3 \cos^{2/3} x} - \cos x$. Jika $x$ di kuadran I ($0 < x < \pi/2$), $\sin x > 0$ dan $\cos x > 0$. Maka $f'(x) = - (\text{positif}) - (\text{positif}) < 0$. Fungsi menurun. Jika $x$ di kuadran IV ($-\pi/2 < x < 0$), $\sin x < 0$ dan $\cos x > 0$. Maka $f'(x) = - (\text{negatif}) - (\text{positif}) = (\text{positif}) - (\text{positif})$. Tanda tidak pasti hanya dari sini. Mari kita perhatikan kembali persamaan $f'(x) = 0$: $\sin x = -3 \cos^{5/3} x$. Jika $\cos x > 0$, maka $\cos^{5/3} x > 0$. Agar $\sin x$ negatif, $x$ harus berada di kuadran III atau IV. Namun, kita dibatasi pada $\cos x \ge 0$, yaitu kuadran I atau IV. Jadi, kita hanya perlu mempertimbangkan $x$ di kuadran IV (antara $-\pi/2$ dan 0). Dalam rentang ini, $\sin x < 0$ dan $\cos x > 0$. Maka $-3 \cos^{5/3} x < 0$. Persamaan $\sin x = -3 \cos^{5/3} x$ memang bisa terjadi. Misalkan $u = \cos^{1/3} x$. Maka $\cos x = u^3$. $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - u^6$. $\sin x = \pm \sqrt{1-u^6}$. Fungsi menjadi $g(u) = u - (\pm \sqrt{1-u^6})$, di mana $0 \\, \le u \le 1$. Jika kita ambil $\sin x = -\sqrt{1-u^6}$ (saat $x$ di kuadran IV), maka $g(u) = u + \sqrt{1-u^6}$. $g'(u) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1-u^6}} (-6u^5) = 1 - \frac{3u^5}{\sqrt{1-u^6}}$. Menyamakan $g'(u) = 0$: $1 = \frac{3u^5}{\sqrt{1-u^6}}$. $\sqrt{1-u^6} = 3u^5$. Kuadratkan kedua sisi: $1-u^6 = 9u^{10}$. $9u^{10} + u^6 - 1 = 0$. Ini juga sulit diselesaikan. Kembali ke analisis nilai pada batas: $f(x) = \sqrt[3]{\cos x} - \sin x$, dengan $0 \le \cos x \le 1$, yaitu $x \in [-\pi/2, \pi/2]$. Nilai maksimum yang mungkin adalah ketika $\sqrt[3]{\cos x}$ besar dan $\sin x$ kecil (negatif). Nilai minimum yang mungkin adalah ketika $\sqrt[3]{\cos x}$ kecil (nol) dan $\sin x$ besar (positif). Pada $x=0$: $\cos 0 = 1$, $\sin 0 = 0$. $f(0) = \sqrt[3]{1} - 0 = 1$. Pada $x=\pi/2$: $\cos(\pi/2) = 0$, $\sin(\pi/2) = 1$. $f(\pi/2) = \sqrt[3]{0} - 1 = -1$. Pada $x=-\pi/2$: $\cos(-\pi/2) = 0$, $\sin(-\pi/2) = -1$. $f(-\pi/2) = \sqrt[3]{0} - (-1) = 1$. Kita perlu memeriksa apakah ada nilai ekstrim di antara $-\pi/2$ dan $\pi/2$. Kita tahu dari $f'(x)$ bahwa jika ada titik kritis, itu terjadi ketika $\sin x = -3 \cos^{5/3} x$. Jika kita misalkan $\cos x = y$, maka $\sin x = \pm \sqrt{1-y^2}$. $\pm \sqrt{1-y^2} = -3 y^{5/3}$. Kuadratkan kedua sisi: $1-y^2 = 9 y^{10/3}$. Ini masih rumit. Namun, berdasarkan nilai-nilai pada titik ujung interval $[-\pi/2, \pi/2]$ yang memenuhi $\cos x \ge 0$, nilai maksimum adalah 1 dan nilai minimum adalah -1. Maka, agar persamaan $f(x)=p$ dapat diselesaikan, $p$ harus berada dalam rentang nilai fungsi tersebut. Jadi, batas-batas nilai $p$ adalah $-1 \le p \le 1$.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Persamaan Trigonometri
Section: Nilai Maksimum Dan Minimum Fungsi Trigonometri

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...