(akar(6))/(2+akar(3)-akar(7))=...

Hasilnya adalah (2akar(2) + akar(6) + akar(14))/4.

Pembahasan

Untuk merasionalkan penyebut dari ekspresi \frac{\sqrt{6}}{2+\sqrt{3}-\sqrt{7}}, kita perlu mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut.

Langkah pertama adalah mengelompokkan penyebut menjadi dua bagian: (2+\sqrt{3}) dan \sqrt{7}.
Konjugat dari (2+\sqrt{3})-\sqrt{7} adalah (2+\sqrt{3})+\sqrt{7}.

\frac{\sqrt{6}}{2+\sqrt{3}-\sqrt{7}} \times \frac{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}

Pembilang: \sqrt{6}(2+\sqrt{3}+\sqrt{7}) = 2\sqrt{6} + \sqrt{18} + \sqrt{42} = 2\sqrt{6} + 3\sqrt{2} + \sqrt{42}

Penyebut: ((2+\sqrt{3})-\sqrt{7})((2+\sqrt{3})+\sqrt{7})
Ini adalah bentuk (a-b)(a+b) = a^2 - b^2, di mana a = (2+\sqrt{3}) dan b = \sqrt{7}.

Penyebut = (2+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2
Penyebut = (2^2 + 2*2*\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - 7
Penyebut = (4 + 4\sqrt{3} + 3) - 7
Penyebut = (7 + 4\sqrt{3}) - 7
Penyebut = 4\sqrt{3}

Sekarang kita punya ekspresi baru:
\frac{2\sqrt{6} + 3\sqrt{2} + \sqrt{42}}{4\sqrt{3}}

Untuk merasionalkan penyebut lagi, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan \sqrt{3}:
\frac{2\sqrt{6} + 3\sqrt{2} + \sqrt{42}}{4\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

Pembilang: (2\sqrt{6} + 3\sqrt{2} + \sqrt{42})\sqrt{3}
Pembilang = 2\sqrt{18} + 3\sqrt{6} + \sqrt{126}
Pembilang = 2(3\sqrt{2}) + 3\sqrt{6} + \sqrt{9*14}
Pembilang = 6\sqrt{2} + 3\sqrt{6} + 3\sqrt{14}

Penyebut: 4\sqrt{3} * \sqrt{3} = 4 * 3 = 12

Jadi, hasil akhirnya adalah:
\frac{6\sqrt{2} + 3\sqrt{6} + 3\sqrt{14}}{12}

Kita bisa menyederhanakannya dengan membagi setiap suku di pembilang dengan 3:
\frac{2\sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{14}}{4}