akar(7 - 4 akar(3)) + akar(7 + 4 akar(3)) = ....

Hasilnya adalah 4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menyederhanakan ekspresi akar tersebut.

Misalkan A = √(7 - 4√3) + √(7 + 4√3).
Kita bisa mengkuadratkan kedua sisi:
A^2 = (√(7 - 4√3) + √(7 + 4√3))^2
A^2 = (7 - 4√3) + (7 + 4√3) + 2 * √(7 - 4√3) * √(7 + 4√3)
A^2 = 14 + 2 * √((7 - 4√3)(7 + 4√3))
A^2 = 14 + 2 * √(7^2 - (4√3)^2)
A^2 = 14 + 2 * √(49 - (16 * 3))
A^2 = 14 + 2 * √(49 - 48)
A^2 = 14 + 2 * √1
A^2 = 14 + 2 * 1
A^2 = 16

Karena A adalah jumlah dari dua akar positif, maka A harus positif. Oleh karena itu, A = √16 = 4.

Cara lain adalah dengan menyederhanakan akar kuadrat di dalam ekspresi:
Perhatikan bahwa 7 - 4√3 dapat ditulis sebagai (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab.
Kita cari a dan b sehingga a^2 + b^2 = 7 dan 2ab = 4√3, atau ab = 2√3.
Jika kita coba a = 2 dan b = √3, maka a^2 = 4 dan b^2 = 3. Sehingga a^2 + b^2 = 4 + 3 = 7. Dan 2ab = 2 * 2 * √3 = 4√3.
Jadi, 7 - 4√3 = (2 - √3)^2.

Demikian pula, 7 + 4√3 dapat ditulis sebagai (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab.
Dengan a = 2 dan b = √3, kita dapatkan 7 + 4√3 = (2 + √3)^2.

Maka, ekspresi menjadi:
√(7 - 4√3) + √(7 + 4√3) = √((2 - √3)^2) + √((2 + √3)^2)
= |2 - √3| + |2 + √3|
Karena 2 > √3, maka |2 - √3| = 2 - √3.
Dan |2 + √3| = 2 + √3.

Jadi, hasilnya adalah (2 - √3) + (2 + √3) = 4.

Jadi, akar(7 - 4√3) + akar(7 + 4√3) = 4.