Kelas 11mathPolinomial
Akar-akar irasional dari x^4 - x^3 - 5x^2 + 7x - 2 = 0
Pertanyaan
Akar-akar irasional dari $x^4 - x^3 - 5x^2 + 7x - 2 = 0$ adalah ....
Solusi
Verified
$-1 + \sqrt{2}$ dan $-1 - \sqrt{2}$
Pembahasan
Untuk mencari akar-akar irasional dari persamaan polinomial $x^4 - x^3 - 5x^2 + 7x - 2 = 0$, kita dapat mencoba mencari akar-akar rasional terlebih dahulu menggunakan Teorema Akar Rasional. Teorema ini menyatakan bahwa jika sebuah polinomial memiliki akar rasional $p/q$ (dalam bentuk paling sederhana), maka $p$ haruslah faktor dari konstanta terakhir (yaitu -2) dan $q$ haruslah faktor dari koefisien utama (yaitu 1). Faktor dari -2 adalah $\pm 1, \pm 2$. Faktor dari 1 adalah $\pm 1$. Kemungkinan akar rasional adalah $\pm 1, \pm 2$. Mari kita uji nilai-nilai ini: Untuk $x=1$: $1^4 - 1^3 - 5(1)^2 + 7(1) - 2 = 1 - 1 - 5 + 7 - 2 = 0$. Jadi, $x=1$ adalah akar. Untuk $x=-1$: $(-1)^4 - (-1)^3 - 5(-1)^2 + 7(-1) - 2 = 1 - (-1) - 5(1) - 7 - 2 = 1 + 1 - 5 - 7 - 2 = -12 \neq 0$. Untuk $x=2$: $2^4 - 2^3 - 5(2)^2 + 7(2) - 2 = 16 - 8 - 5(4) + 14 - 2 = 16 - 8 - 20 + 14 - 2 = 0$. Jadi, $x=2$ adalah akar. Untuk $x=-2$: $(-2)^4 - (-2)^3 - 5(-2)^2 + 7(-2) - 2 = 16 - (-8) - 5(4) - 14 - 2 = 16 + 8 - 20 - 14 - 2 = -14 \neq 0$. Karena $x=1$ dan $x=2$ adalah akar, maka $(x-1)$ dan $(x-2)$ adalah faktor dari polinomial tersebut. Kita bisa membagi polinomial dengan $(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$. Menggunakan pembagian polinomial, kita akan mendapatkan hasil bagi $x^2 + 2x - 1$. Jadi, persamaan dapat ditulis sebagai $(x-1)(x-2)(x^2 + 2x - 1) = 0$. Sekarang kita perlu mencari akar dari $x^2 + 2x - 1 = 0$. Karena koefisiennya tidak memungkinkan pemfaktoran sederhana, kita gunakan rumus kuadrat $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Di sini, $a=1, b=2, c=-1$. $x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} $x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} $x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} $x = -1 \pm \sqrt{2}$. Kedua akar ini, $-1 + \sqrt{2}$ dan $-1 - \sqrt{2}$, adalah akar irasional karena melibatkan $\sqrt{2}$ yang tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional. Jadi, akar-akar irasional dari persamaan $x^4 - x^3 - 5x^2 + 7x - 2 = 0$ adalah $-1 + \sqrt{2}$ dan $-1 - \sqrt{2}$.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Akar Akar Polinomial
Section: Teorema Sisa Dan Faktor
Apakah jawaban ini membantu?