Akar-akar persamaan (p - 2)x^2 + 4x + (p + 2) = 0 adalah

p = 3 atau p = 6/5

Pembahasan

Diberikan persamaan kuadrat (p - 2)x^2 + 4x + (p + 2) = 0, dengan akar-akar alpha (α) dan beta (β).
Menurut Vieta, hasil kali akar-akar (αβ) adalah c/a dan jumlah akar-akar (α + β) adalah -b/a.
Di sini, a = p - 2, b = 4, c = p + 2.

αβ = (p + 2) / (p - 2)
α + β = -4 / (p - 2)

Diberikan juga kondisi: alphabeta^2 + betaalpha^2 = -20
Kita bisa faktorkan menjadi: αβ(β + α) = -20

Sekarang substitusikan nilai αβ dan (α + β) ke dalam persamaan tersebut:
[(p + 2) / (p - 2)] * [-4 / (p - 2)] = -20
-4(p + 2) / (p - 2)^2 = -20
Bagi kedua sisi dengan -4:
(p + 2) / (p - 2)^2 = 5
Kalikan kedua sisi dengan (p - 2)^2:
p + 2 = 5(p - 2)^2
p + 2 = 5(p^2 - 4p + 4)
p + 2 = 5p^2 - 20p + 20
0 = 5p^2 - 20p - p + 20 - 2
0 = 5p^2 - 21p + 18

Sekarang kita cari nilai p dengan memfaktorkan persamaan kuadrat 5p^2 - 21p + 18 = 0.
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 5 * 18 = 90 dan jika dijumlahkan menghasilkan -21. Bilangan tersebut adalah -15 dan -6.
5p^2 - 15p - 6p + 18 = 0
5p(p - 3) - 6(p - 3) = 0
(5p - 6)(p - 3) = 0
Maka, solusi untuk p adalah:
5p - 6 = 0 => p = 6/5
p - 3 = 0 => p = 3

Kita perlu memeriksa apakah penyebut (p-2) tidak nol untuk kedua nilai p ini.
Jika p = 6/5, p - 2 = 6/5 - 10/5 = -4/5 ≠ 0.
Jika p = 3, p - 2 = 3 - 2 = 1 ≠ 0.
Jadi, kedua nilai p valid.

Namun, biasanya dalam soal seperti ini dicari satu nilai p. Mari kita cek kembali soalnya. Soal hanya meminta "maka p = ...", yang bisa berarti salah satu atau keduanya. Jika harus memilih satu, perlu konteks lebih lanjut atau konvensi tertentu. Namun, berdasarkan perhitungan aljabar, kedua nilai tersebut memenuhi persamaan.