Akar-akar persamaan x^4-x^3-5x^2-x-6=0 adalah....

Akar-akarnya adalah -2, 3, i, dan -i.

Pembahasan

Untuk mencari akar-akar persamaan polinomial, kita dapat menggunakan Teorema Faktor Rasional atau metode numerik.
Untuk persamaan x⁴ - x³ - 5x² - x - 6 = 0, kita dapat mencoba mencari faktor-faktor rasionalnya.
Misalkan P(x) = x⁴ - x³ - 5x² - x - 6.
Jika kita mencoba x = -1, P(-1) = (-1)⁴ - (-1)³ - 5(-1)² - (-1) - 6 = 1 - (-1) - 5(1) + 1 - 6 = 1 + 1 - 5 + 1 - 6 = -8.
Jika kita mencoba x = -2, P(-2) = (-2)⁴ - (-2)³ - 5(-2)² - (-2) - 6 = 16 - (-8) - 5(4) + 2 - 6 = 16 + 8 - 20 + 2 - 6 = 0.
Jadi, (x + 2) adalah salah satu faktornya.
Jika kita mencoba x = 3, P(3) = (3)⁴ - (3)³ - 5(3)² - (3) - 6 = 81 - 27 - 5(9) - 3 - 6 = 81 - 27 - 45 - 3 - 6 = 0.
Jadi, (x - 3) adalah salah satu faktornya.
Dengan melakukan pembagian polinomial, kita dapat menemukan faktor-faktor lainnya. Setelah dibagi oleh (x+2) dan (x-3), kita akan mendapatkan faktor kuadratik.
(x⁴ - x³ - 5x² - x - 6) / (x + 2) = x³ - 3x² + x - 3
(x³ - 3x² + x - 3) / (x - 3) = x² + 1
Jadi, persamaan dapat ditulis sebagai (x + 2)(x - 3)(x² + 1) = 0.
Akar-akarnya adalah:
x + 2 = 0  => x = -2
x - 3 = 0  => x = 3
x² + 1 = 0  => x² = -1 => x = ±i (bilangan imajiner)
Akar-akar persamaan tersebut adalah -2, 3, i, dan -i.