Kelas 12Kelas 11mathKalkulus
Aliran fluida yang melalui sebuah tabung dengan jari-jari
Pertanyaan
Aliran fluida yang melalui sebuah tabung dengan jari-jari tetap R, misalnya aliran darah dalam sebagian tubuh dapat dipandang sebagai tabung sepusat dengan jari-jari r, dimana 0<=r<=R. Kecepatan fluida, v, adalah fungsi dari r dan diberikan oleh v=integral -(P1-P2)/(2L eta) r dr dengan P1 dan P2 adalah tekanan pada ujung-ujung tabung, eta adalah viskositas fluida, dan L adalah panjang tabung. Jika v=0 ketika r=R maka tunjukkan bahwa v=(P1-P2)(R^2-r^2)/(4L eta).
Solusi
Verified
Integrasikan v = -(P1-P2)/(2L eta) r dr, gunakan kondisi batas v=0 saat r=R untuk menemukan konstanta integrasi, lalu substitusikan kembali untuk mendapatkan rumus yang diminta.
Pembahasan
Untuk menunjukkan bahwa v=(P1-P2)(R^2-r^2)/(4L eta), kita perlu mengintegrasikan fungsi kecepatan yang diberikan. Fungsi kecepatan awal adalah: v = integral -(P1-P2)/(2L eta) r dr Kita dapat mengeluarkan konstanta dari integral: v = -(P1-P2)/(2L eta) * integral r dr Integral dari r dr adalah (1/2)r^2. Jadi, v = -(P1-P2)/(2L eta) * (1/2)r^2 + C v = -(P1-P2)/(4L eta) r^2 + C Di sini, C adalah konstanta integrasi. Kita diberikan kondisi batas bahwa v=0 ketika r=R. Kita dapat menggunakan informasi ini untuk mencari nilai C. 0 = -(P1-P2)/(4L eta) R^2 + C C = (P1-P2)/(4L eta) R^2 Sekarang, substitusikan nilai C kembali ke persamaan kecepatan: v = -(P1-P2)/(4L eta) r^2 + (P1-P2)/(4L eta) R^2 Faktorkan (P1-P2)/(4L eta): v = (P1-P2)/(4L eta) * (R^2 - r^2) Ini menunjukkan bahwa v = (P1-P2)(R^2-r^2)/(4L eta). Jawaban Singkat: Dengan mengintegrasikan fungsi kecepatan yang diberikan dan menggunakan kondisi batas v=0 saat r=R, dapat ditunjukkan bahwa v=(P1-P2)(R^2-r^2)/(4L eta).
Topik: Integral
Section: Integral Tak Tentu
Apakah jawaban ini membantu?