Andi bermain tebak-tebakan dengan Danu: mengatakan bahwa

Ekspresi ab+ac+ad+bc+bd+cd+1 untuk empat bilangan asli berurutan a, b, c, d dapat disederhanakan menjadi 6(n+1)(n+2), di mana n adalah bilangan asli pertama. Karena (n+1) dan (n+2) adalah dua bilangan berurutan, salah satunya pasti genap. Oleh karena itu, hasil kali mereka habis dibagi 2. Dengan demikian, 6(n+1)(n+2) habis dibagi 6 * 2 = 12.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan Andi, kita perlu menunjukkan bahwa hasil dari ab+ac+ad+bc+bd+cd+1 selalu habis dibagi 12 untuk setiap empat bilangan asli berurutan a, b, c, dan d.

Misalkan keempat bilangan asli berurutan tersebut adalah n, n+1, n+2, dan n+3.

Maka, kita dapat mengganti a, b, c, dan d dengan nilai-nilai ini:
a = n
b = n+1
c = n+2
d = n+3

Ekspresi yang diberikan adalah ab+ac+ad+bc+bd+cd+1.
Mari kita kelompokkan suku-suku dalam ekspresi ini:
(ab+ac+ad) + (bc+bd+cd) + 1

Kita bisa memfaktorkan suku-suku ini:
a(b+c+d) + b(c+d) + cd + 1

Substitusikan nilai a, b, c, dan d:
n((n+1)+(n+2)+(n+3)) + (n+1)((n+2)+(n+3)) + (n+2)(n+3) + 1

Sederhanakan ekspresi di dalam kurung:
n(3n+6) + (n+1)(2n+5) + (n^2+5n+6) + 1

Distribusikan:
3n^2 + 6n + (2n^2 + 5n + 2n + 5) + n^2 + 5n + 6 + 1

Gabungkan suku-suku yang sejenis:
3n^2 + 6n + 2n^2 + 7n + 5 + n^2 + 5n + 7

(3n^2 + 2n^2 + n^2) + (6n + 7n + 5n) + (5 + 7)

6n^2 + 18n + 12

Sekarang kita perlu membuktikan bahwa ekspresi ini selalu habis dibagi 12.
Kita dapat memfaktorkan 6 dari ekspresi tersebut:
6(n^2 + 3n + 2)

Selanjutnya, kita faktorkan ekspresi kuadrat di dalam kurung:
n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2)

Jadi, ekspresi keseluruhannya menjadi:
6(n+1)(n+2)

Perhatikan bahwa (n+1) dan (n+2) adalah dua bilangan asli berurutan. Salah satu dari dua bilangan berurutan pasti genap (habis dibagi 2) dan salah satu dari tiga bilangan berurutan (n, n+1, n+2) pasti habis dibagi 3.

Karena (n+1) dan (n+2) adalah bilangan berurutan, maka salah satunya pasti genap. Ini berarti hasil kali (n+1)(n+2) habis dibagi 2.

Jadi, 6(n+1)(n+2) akan habis dibagi 6 * 2 = 12.

Oleh karena itu, terbukti bahwa ab+ac+ad+bc+bd+cd+1 selalu habis dibagi 12 untuk setiap empat bilangan asli berurutan.