Apabila diketahui tan x=3/4 , nilai cos^2 x-sin^2 x=....

7/25

Pembahasan

Diketahui tan x = 3/4. Kita perlu mencari nilai dari cos^2 x - sin^2 x.

Kita tahu bahwa tan x = sin x / cos x. Jadi, sin x / cos x = 3/4.
Ini berarti kita dapat menganggap sin x = 3k dan cos x = 4k untuk suatu konstanta k, atau sebaliknya, sin x = 3 dan cos x = 4 jika kita membentuk segitiga siku-siku.

Namun, menggunakan identitas trigonometri lebih efisien. Kita tahu bahwa:
1 + tan^2 x = sec^2 x
1 + (3/4)^2 = sec^2 x
1 + 9/16 = sec^2 x
16/16 + 9/16 = sec^2 x
25/16 = sec^2 x

Karena sec x = 1/cos x, maka sec^2 x = 1/cos^2 x.
Jadi, 1/cos^2 x = 25/16.
Ini berarti cos^2 x = 16/25.

Selanjutnya, kita cari sin^2 x. Kita tahu bahwa sin^2 x + cos^2 x = 1.
sin^2 x = 1 - cos^2 x
sin^2 x = 1 - 16/25
sin^2 x = 25/25 - 16/25
sin^2 x = 9/25.

Sekarang kita hitung cos^2 x - sin^2 x:
cos^2 x - sin^2 x = 16/25 - 9/25
cos^2 x - sin^2 x = (16 - 9) / 25
cos^2 x - sin^2 x = 7/25.

Alternatif lain, kita bisa menggunakan identitas cos(2x) = cos^2 x - sin^2 x. Kita juga bisa mencari nilai cos x dan sin x terlebih dahulu. Dari tan x = 3/4, kita bisa membayangkan segitiga siku-siku dengan sisi depan = 3, sisi samping = 4. Maka sisi miring (hipotenusa) adalah sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5.

Maka, sin x = ±3/5 dan cos x = ±4/5. Karena tan x positif, x berada di kuadran I atau III. Dalam kedua kuadran ini, nilai cos^2 x dan sin^2 x akan sama.

Jika x di kuadran I: sin x = 3/5, cos x = 4/5.
cos^2 x = (4/5)^2 = 16/25.
sin^2 x = (3/5)^2 = 9/25.
cos^2 x - sin^2 x = 16/25 - 9/25 = 7/25.

Jika x di kuadran III: sin x = -3/5, cos x = -4/5.
cos^2 x = (-4/5)^2 = 16/25.
sin^2 x = (-3/5)^2 = 9/25.
cos^2 x - sin^2 x = 16/25 - 9/25 = 7/25.

Jadi, nilai cos^2 x - sin^2 x adalah 7/25.