Bahan radioaktif bermassa 200 gram mengalami peluruhan.

Massa bahan radioaktif pada pukul 18.00 adalah sekitar 106.28 gram, dengan asumsi laju peluruhan 10% setiap 3 jam berdasarkan data pada pukul 06.00.

Pembahasan

Massa bahan radioaktif berkurang secara eksponensial seiring waktu. Hubungan antara massa sisa (M) dan waktu (t) dapat dinyatakan sebagai:
M(t) = M₀ * (1 - r)^t
Di mana:
M(t) = massa sisa pada waktu t
M₀ = massa awal
r = laju peluruhan per satuan waktu
t = waktu

Dari data yang diberikan:
Massa awal (M₀) = 200 gram.
Pada pukul 09.00 (t = 9 jam), massa = 180 gram.
Pada pukul 06.00 (t = 6 jam), massa = 162 gram.

Kita bisa menggunakan salah satu titik data untuk mencari laju peluruhan (r).
Menggunakan data pada t = 6 jam:
162 = 200 * (1 - r)^6
(1 - r)^6 = 162 / 200 = 0.81

Sekarang, kita perlu mencari massa pada pukul 18.00 (t = 18 jam).
Kita perlu nilai (1 - r)^18.
Kita tahu bahwa (1 - r)^6 = 0.81.
Maka, (1 - r)^18 = ((1 - r)^6)^3 = (0.81)^3
(0.81)^3 = 0.81 * 0.81 * 0.81 = 0.6561 * 0.81 = 0.531441

Massa pada pukul 18.00:
M(18) = 200 * (1 - r)^18
M(18) = 200 * 0.531441
M(18) = 106.2882 gram.

Mari kita cek konsistensi dengan data pada t = 9 jam:
Jika (1 - r)^6 = 0.81, maka 1 - r = (0.81)^(1/6).
(1 - r)^9 = ((1 - r)^6)^(9/6) = (0.81)^(3/2) = (0.81) * sqrt(0.81) = 0.81 * 0.9 = 0.729
M(9) = 200 * 0.729 = 145.8 gram. Ini tidak sesuai dengan 180 gram yang diberikan. Ada kemungkinan data atau informasi yang diberikan kurang konsisten atau memerlukan interpretasi yang berbeda.

Mari kita coba pendekatan lain dengan asumsi laju peluruhan konstan dalam bentuk pangkat.
Misalkan massa bahan radioaktif pada waktu t adalah M(t) = M₀ * a^t, di mana a adalah faktor peluruhan per jam.

M(0) = 200
M(6) = 200 * a^6 = 162 => a^6 = 162/200 = 0.81
M(9) = 200 * a^9 = 180 => a^9 = 180/200 = 0.9

Dari a^6 = 0.81, kita dapatkan a = (0.81)^(1/6).
Dari a^9 = 0.9, kita dapatkan a = (0.9)^(1/9).
Mari kita cek apakah kedua nilai a ini sama:
(0.81)^(1/6) ≈ 0.951
(0.9)^(1/9) ≈ 0.988
Nilai a tidak konsisten, yang berarti model peluruhan eksponensial sederhana M(t) = M₀ * a^t atau M(t) = M₀ * (1 - r)^t mungkin tidak sepenuhnya tepat dengan data yang diberikan atau ada kesalahan dalam data.

Namun, jika kita mengabaikan inkonsistensi dan menggunakan petunjuk yang diberikan:
Petunjuk: (0,9)^5=0,5901;(0,9)^6=0,5314;(0,9)^7=0,4783

Jika kita mengasumsikan laju peluruhan per jam adalah 0.9 (yang berarti massa berkurang menjadi 90% setiap jam), maka:
M(t) = 200 * (0.9)^t

M(6) = 200 * (0.9)^6 = 200 * 0.5314 = 106.28 gram (Tidak cocok dengan 162 gram).

M(9) = 200 * (0.9)^9 = 200 * 0.3874 = 77.48 gram (Tidak cocok dengan 180 gram).

Perlu diperhatikan bahwa soal ini memiliki data yang tampaknya tidak konsisten atau petunjuknya mungkin mengarah pada interpretasi yang berbeda tentang model peluruhan.

Jika kita mengasumsikan ada kesalahan ketik pada data dan mencoba menggunakan petunjuk untuk menemukan pola:
Misalkan faktor peluruhan per interval waktu adalah konstan.
Dari t=0 ke t=6 (6 jam), massa berubah dari 200 ke 162. Faktor perubahan = 162/200 = 0.81.
Dari t=0 ke t=9 (9 jam), massa berubah dari 200 ke 180. Faktor perubahan = 180/200 = 0.9.

Jika kita menganggap bahwa perubahan massa adalah fungsi dari (0.9)^t, dan mencoba menyesuaikan konstanta awal atau faktor perkalian.

Mari kita coba gunakan petunjuk (0.9)^6 = 0.5314 untuk menghitung massa pada pukul 18:00 (t=18).
Kita perlu menghitung 200 * (faktor peluruhan)^18.
Jika kita menganggap faktor peluruhan per jam adalah 'a', maka a^6 = 0.81 atau a^9 = 0.9.
Ini tetap kembali ke inkonsistensi.

Mari kita coba interpretasi lain dari petunjuk. Mungkin laju peluruhan adalah 10% setiap periode waktu, tetapi periode waktunya tidak harus 1 jam.

Jika kita berasumsi bahwa pola peluruhan adalah M(t) = 200 * (0.9)^(t/k) untuk suatu konstanta k.

Mari kita abaikan inkonsistensi data dan fokus pada bagaimana petunjuk bisa digunakan jika ada model yang konsisten.
Jika modelnya adalah M(t) = M₀ * b^t, dan kita diberi informasi tentang (0.9)^n.

Ada kemungkinan soal ini menguji pemahaman tentang sifat eksponensial dan bagaimana memanfaatkan nilai yang diberikan.
Jika kita memproses data secara terpisah:
Dari data 6 jam: (1-r)^6 = 0.81
Kita ingin M(18) = 200 * (1-r)^18 = 200 * ((1-r)^6)^3 = 200 * (0.81)^3
(0.81)^3 = 0.531441
M(18) = 200 * 0.531441 = 106.2882

Dari data 9 jam: (1-r)^9 = 0.9
Kita ingin M(18) = 200 * (1-r)^18 = 200 * ((1-r)^9)^2 = 200 * (0.9)^2
(0.9)^2 = 0.81
M(18) = 200 * 0.81 = 162

Kedua perhitungan memberikan hasil yang berbeda karena inkonsistensi data.
Namun, petunjuk yang diberikan adalah (0.9)^6 = 0.5314. Jika kita menganggap laju peluruhan adalah 10% per jam, maka M(t) = 200 * (0.9)^t.
Maka M(18) = 200 * (0.9)^18.
Kita tidak memiliki nilai (0.9)^18 secara langsung, tetapi kita memiliki (0.9)^6 dan (0.9)^7.
Kita bisa hitung (0.9)^18 = ((0.9)^6)^3 = (0.5314)^3 = 0.1499...
Atau (0.9)^18 = ((0.9)^9)^2. Kita juga tidak punya (0.9)^9.

Mengingat adanya petunjuk nilai (0.9)^n, ada kemungkinan soal ini didesain agar kita menggunakan salah satu data untuk mendapatkan basis peluruhan, lalu menghitung.
Jika kita percaya data t=9 jam adalah kunci, maka massa berkurang menjadi 0.9 kali lipat setiap periode waktu tertentu. Jika periode itu adalah 1 jam, maka M(t)=200*(0.9)^t.
Namun, M(6)=200*(0.9)^6 = 200*0.5314 = 106.28. Ini sangat jauh dari 162.

Ada kemungkinan laju peluruhan bukanlah per jam, tetapi per interval waktu yang lebih besar.
Misalkan dalam 3 jam, massa berkurang menjadi x kali lipat.
Dari t=0 ke t=6 (2 interval 3 jam), massa menjadi 162/200 = 0.81 kali lipat.
Jadi, (x)^2 = 0.81 => x = 0.9.
Ini berarti setiap 3 jam, massa berkurang menjadi 0.9 kali lipat.

Maka, M(t) = 200 * (0.9)^(t/3).
Kita ingin mencari M(18).
t = 18 jam.
Jumlah interval 3 jam = 18 / 3 = 6.

M(18) = 200 * (0.9)^6
M(18) = 200 * 0.5314
M(18) = 106.28 gram.

Mari kita cek dengan data t=9 jam.
Jumlah interval 3 jam = 9 / 3 = 3.
M(9) = 200 * (0.9)^3
M(9) = 200 * 0.729 = 145.8 gram. Ini masih belum cocok dengan 180 gram.

Karena soal ini memberikan petunjuk spesifik yaitu (0,9)^5=0,5901;(0,9)^6=0,5314;(0,9)^7=0,4783, dan data awal tampaknya tidak konsisten, mari kita coba memodelkan berdasarkan petunjuk saja.
Jika kita mengasumsikan laju peluruhan adalah 10% per satuan waktu, dan kita harus menggunakan nilai dari petunjuk.
Kita perlu M(18).
Jika kita menggunakan M(t) = M₀ * (0.9)^t, maka M(18) = 200 * (0.9)^18.
Kita bisa mendapatkan (0.9)^18 dari (0.9)^6:
(0.9)^18 = ((0.9)^6)^3 = (0.5314)^3 ≈ 0.1499
M(18) = 200 * 0.1499 ≈ 29.98 gram.

Jika kita menggunakan M(t) = M₀ * (0.9)^(t/k) seperti yang kita duga dari data 6 jam (faktor 0.81 = 0.9^2).
Ini berarti t/k = 6, jadi k=1. Jadi M(t) = 200 * (0.9)^t.

Ada kemungkinan data t=9 jam salah, dan data t=6 jam benar.
Jika M(6) = 162, maka 200 * a^6 = 162 => a^6 = 0.81.
Kita ingin M(18) = 200 * a^18 = 200 * (a^6)^3 = 200 * (0.81)^3.
Menggunakan kalkulator, (0.81)^3 = 0.531441.
Jadi M(18) = 200 * 0.531441 = 106.2882.
Ini cocok dengan (0.9)^6 = 0.5314 jika 0.81 = 0.9^2, yang benar.
Namun, hasil ini tidak cocok dengan nilai-nilai yang diberikan dalam petunjuk.

Mari kita coba interpretasi lain yang menggunakan nilai petunjuk secara langsung.
Jika kita mengasumsikan bahwa pola peluruhan adalah M(t) = M₀ * b^(t/T) di mana T adalah periode peluruhan.

Jika kita menggunakan petunjuk (0,9)^6=0,5314.
Jika kita asumsikan modelnya adalah M(t) = 200 * (0.9)^t.
Maka M(6) = 200 * (0.9)^6 = 200 * 0.5314 = 106.28.
Ini tidak cocok dengan 162.

Jika kita mengasumsikan bahwa 0.9 adalah faktor peluruhan per 3 jam (seperti dugaan kita sebelumnya).
Berarti M(t) = 200 * (0.9)^(t/3).
Untuk t=18, M(18) = 200 * (0.9)^(18/3) = 200 * (0.9)^6 = 200 * 0.5314 = 106.28.

Perhatikan kembali petunjuk: (0,9)^5=0,5901;(0,9)^6=0,5314;(0,9)^7=0,4783.
Dan data: 00:00=200g, 09:00=180g, 06:00=162g.
Kita ingin massa pada 18:00.

Jika kita mengasumsikan peluruhan 10% setiap 3 jam, maka:
00:00 = 200
03:00 = 200 * 0.9 = 180
06:00 = 180 * 0.9 = 162
09:00 = 162 * 0.9 = 145.8
12:00 = 145.8 * 0.9 = 131.22
15:00 = 131.22 * 0.9 = 118.098
18:00 = 118.098 * 0.9 = 106.2882

Ini cocok dengan data 06:00=162, tetapi tidak cocok dengan data 09:00=180.

Jika kita asumsikan peluruhan 10% setiap jam, maka:
00:00 = 200
01:00 = 200 * 0.9 = 180
02:00 = 180 * 0.9 = 162
03:00 = 162 * 0.9 = 145.8
...
06:00 = 200 * (0.9)^6 = 200 * 0.5314 = 106.28. Ini tidak cocok dengan 162.

Mengacu pada petunjuk yang diberikan, yaitu nilai dari (0.9)^n, ini sangat mengindikasikan bahwa basis peluruhan adalah 0.9.

Kemungkinan interpretasi yang paling masuk akal adalah:
Asumsikan laju peluruhan adalah 10% per periode waktu T.
Massa(t) = M₀ * (0.9)^(t/T).

Gunakan data 06:00:
162 = 200 * (0.9)^(6/T)
0.81 = (0.9)^(6/T)
(0.9)^2 = (0.9)^(6/T)
2 = 6/T
T = 3 jam.

Jadi, model peluruhannya adalah Massa(t) = 200 * (0.9)^(t/3).

Sekarang hitung massa pada pukul 18:00 (t = 18 jam):
Massa(18) = 200 * (0.9)^(18/3)
Massa(18) = 200 * (0.9)^6
Massa(18) = 200 * 0.5314
Massa(18) = 106.28 gram.

Jika kita menggunakan data 09:00:
180 = 200 * (0.9)^(9/T)
0.9 = (0.9)^(9/T)
1 = 9/T
T = 9 jam.

Jika T=9 jam, maka modelnya adalah Massa(t) = 200 * (0.9)^(t/9).
Hitung massa pada pukul 18:00 (t = 18 jam):
Massa(18) = 200 * (0.9)^(18/9)
Massa(18) = 200 * (0.9)^2
Massa(18) = 200 * 0.81
Massa(18) = 162 gram.

Karena kedua data (06:00 dan 09:00) menghasilkan periode peluruhan yang berbeda, ini mengkonfirmasi adanya inkonsistensi dalam data soal.

Namun, jika kita dipaksa untuk memilih salah satu atau jika ada asumsi tersembunyi.
Jika kita melihat petunjuk (0.9)^6 = 0.5314. Nilai ini muncul jika kita menggunakan model peluruhan 10% per jam DAN melihat data pada jam ke-6.
Atau jika kita menggunakan model peluruhan 10% per 3 jam DAN melihat data pada jam ke-6.

Mengingat nilai (0.9)^6 diberikan, dan kita perlu menghitung pada t=18, yang merupakan kelipatan 6 (18 = 3 * 6).
Jika kita mengasumsikan data pada jam ke-6 adalah yang benar dan periode peluruhan terkait dengan nilai di petunjuk:
Model: Massa(t) = 200 * (basis peluruhan)^(t/periode).
Jika kita gunakan basis 0.9 dan periode 3 jam, kita dapatkan M(6) = 200 * (0.9)^2 = 162 (cocok).
Maka M(18) = 200 * (0.9)^6 = 200 * 0.5314 = 106.28.

Jika kita menggunakan basis 0.9 dan periode 1 jam, kita dapatkan M(6) = 200 * (0.9)^6 = 106.28 (tidak cocok).

Jika kita menggunakan basis 0.9 dan kita perlu menghitung M(18), dan kita punya petunjuk (0.9)^6.
Mungkin soal ini ingin kita mengasumsikan M(t) = 200 * (faktor peluruhan)^t.
Kita perlu menentukan faktor peluruhan.
Jika kita gunakan data t=6 jam: Faktor^6 = 162/200 = 0.81. Maka Faktor = (0.81)^(1/6).
Maka M(18) = 200 * (Faktor)^18 = 200 * ((Faktor)^6)^3 = 200 * (0.81)^3 = 200 * 0.531441 = 106.2882.

Jika kita gunakan data t=9 jam: Faktor^9 = 180/200 = 0.9. Maka Faktor = (0.9)^(1/9).
Maka M(18) = 200 * (Faktor)^18 = 200 * ((Faktor)^9)^2 = 200 * (0.9)^2 = 200 * 0.81 = 162.

Karena petunjuk secara eksplisit memberikan nilai yang terkait dengan (0.9), dan salah satu perhitungan (menggunakan data t=9 jam) mengarah pada penggunaan (0.9)^2, mari kita coba fokus pada itu.
Jika kita mengasumsikan bahwa laju peluruhan per interval waktu tertentu adalah 0.9.
Dari data 09:00, massa berkurang dari 200 ke 180, faktornya 0.9. Ini terjadi dalam 9 jam.
Jadi, setiap 9 jam, massa dikalikan 0.9.
Massa(t) = 200 * (0.9)^(t/9).

Maka, massa pada pukul 18:00 (t=18 jam):
Massa(18) = 200 * (0.9)^(18/9) = 200 * (0.9)^2 = 200 * 0.81 = 162 gram.

Ini adalah interpretasi yang paling konsisten dengan salah satu titik data dan petunjuk yang diberikan (meskipun petunjuk spesifik (0.9)^6 tidak terpakai langsung dalam perhitungan akhir ini, tetapi konsep basis 0.9 terpakai).

Mari kita coba gunakan petunjuk (0.9)^6 = 0.5314. Jika ini adalah dasar perhitungan.
Ini berarti jika basis peluruhan adalah 0.9 dan periode waktunya adalah 6 jam.
Massa(t) = 200 * (0.9)^(t/6).

Massa pada 18:00 (t=18):
Massa(18) = 200 * (0.9)^(18/6) = 200 * (0.9)^3.
(0.9)^3 = 0.729.
Massa(18) = 200 * 0.729 = 145.8 gram.

Jika kita kembali ke interpretasi bahwa 10% berkurang setiap 3 jam (didasarkan pada M(6)=162 -> 0.81 = 0.9^2).
Massa(t) = 200 * (0.9)^(t/3).
Massa pada 18:00 (t=18):
Massa(18) = 200 * (0.9)^(18/3) = 200 * (0.9)^6 = 200 * 0.5314 = 106.28 gram.

Mengacu pada petunjuk yang diberikan, terutama (0.9)^6 = 0.5314, dan fakta bahwa kita perlu menghitung pada jam ke-18 (yang merupakan 3 kali dari 6 jam).
Jika kita menganggap model peluruhan M(t) = M₀ * a^t, dan kita tahu M(6) = 162.
162 = 200 * a^6 => a^6 = 0.81.
Maka M(18) = 200 * a^18 = 200 * (a^6)^3 = 200 * (0.81)^3.
(0.81)^3 = 0.531441. Maka M(18) = 200 * 0.531441 = 106.2882.

Jawaban ini menggunakan data M(6)=162 dan menghitung M(18) dengan basis yang diturunkan dari data tersebut. Ini juga secara kebetulan menggunakan angka 0.5314 (dibulatkan) jika kita menggunakan (0.81)^3.

Kesimpulan: Data soal ini inkonsisten. Namun, jika kita harus memilih metode yang paling mungkin dimaksud oleh pembuat soal dengan memberikan petunjuk (0.9)^6, maka interpretasi bahwa peluruhan 10% terjadi setiap 3 jam adalah yang paling mendekati penggunaan data dan petunjuk.
Massa(t) = 200 * (0.9)^(t/3).
Massa pada 18:00 = 200 * (0.9)^(18/3) = 200 * (0.9)^6 = 200 * 0.5314 = 106.28 gram.