Balok ABCD.EFGH memiliki ukuran panjang 8 cm lebar 6 cm dan

Jarak antara titik P dan garis AD adalah 2√13 cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak antara titik P dan garis AD, kita perlu memahami posisi titik P terlebih dahulu. Titik P adalah perpotongan diagonal bidang FH dan EG. Bidang EFGH adalah salah satu sisi balok (sisi atas atau bawah). Misalkan kita ambil bidang EFGH sebagai sisi atas balok.

Dalam balok ABCD.EFGH dengan panjang 8 cm (misal AB), lebar 6 cm (misal BC), dan tinggi 6 cm (misal AE):
- Sisi ABCD adalah alas.
- Sisi EFGH adalah sisi atas.
- Garis AD adalah salah satu rusuk alas.

Titik P adalah perpotongan diagonal bidang EFGH. Ini berarti P berada di tengah-tengah bidang EFGH. Jika kita membayangkan balok dalam sistem koordinat:
- A = (0, 0, 0)
- B = (8, 0, 0)
- C = (8, 6, 0)
- D = (0, 6, 0)
- E = (0, 0, 6)
- F = (8, 0, 6)
- G = (8, 6, 6)
- H = (0, 6, 6)

Garis AD terletak pada sumbu y (dari y=0 hingga y=6 pada x=0 dan z=0). Secara spesifik, garis AD adalah segmen dari (0, 0, 0) ke (0, 6, 0).

Titik P adalah perpotongan diagonal EG dan FH. Diagonal EG menghubungkan E(0, 0, 6) dan G(8, 6, 6). Titik tengah EG adalah ((0+8)/2, (0+6)/2, (6+6)/2) = (4, 3, 6). Diagonal FH menghubungkan F(8, 0, 6) dan H(0, 6, 6). Titik tengah FH adalah ((8+0)/2, (0+6)/2, (6+6)/2) = (4, 3, 6).
Jadi, titik P memiliki koordinat (4, 3, 6).

Jarak antara titik P(4, 3, 6) dan garis AD. Garis AD adalah garis yang sejajar dengan sumbu y dan terletak pada bidang x=0, z=0. Semua titik pada garis AD memiliki koordinat (0, y, 0) di mana 0 <= y <= 6.

Jarak terpendek dari sebuah titik ke sebuah garis adalah jarak tegak lurus. Dalam kasus ini, jarak dari P(4, 3, 6) ke garis AD (yang berada pada x=0, z=0) adalah jarak sepanjang garis yang tegak lurus terhadap AD dan melalui P.

Kita dapat menghitung jarak ini menggunakan rumus jarak titik ke garis atau dengan melihat proyeksi titik P pada bidang yang memuat garis AD.

Cara yang lebih sederhana adalah dengan melihat komponen koordinat:
- Jarak P ke bidang x=0 (yang memuat AD) adalah nilai absolut dari koordinat x P, yaitu |4| = 4 cm.
- Jarak P ke bidang z=0 (yang memuat AD) adalah nilai absolut dari koordinat z P, yaitu |6| = 6 cm.

Karena garis AD terletak pada bidang x=0 dan z=0, jarak dari P(4, 3, 6) ke garis AD adalah jarak dari proyeksi P pada bidang y=3 (yang sejajar dengan bidang AD) ke garis AD itu sendiri.

Proyeksi titik P(4, 3, 6) pada bidang x=0 adalah titik (0, 3, 6). Jarak dari (0, 3, 6) ke garis AD (yang berada pada (0, y, 0)) masih perlu dihitung.

Cara lain: Jarak titik P(x_p, y_p, z_p) ke garis yang sejajar sumbu y (misal garis x=a, z=c) adalah sqrt((x_p - a)^2 + (z_p - c)^2).
Dalam kasus ini, garis AD sejajar sumbu y dan melalui titik (0, 0, 0). Persamaan garis AD bisa ditulis sebagai x=0, z=0.
Jadi, a=0 dan c=0.
P = (4, 3, 6).
Jarak = sqrt((4 - 0)^2 + (6 - 0)^2) = sqrt(4^2 + 6^2) = sqrt(16 + 36) = sqrt(52).

Mari kita periksa lagi definisi jarak antara titik P dan garis AD.
Garis AD berada pada bidang x=0 dan z=0. Titik P adalah (4, 3, 6).
Jarak terpendek dari P ke garis AD adalah panjang ruas garis dari P ke titik pada AD yang terdekat dengan P.
Titik pada AD memiliki koordinat (0, y, 0).
Jarak kuadrat dari P(4, 3, 6) ke (0, y, 0) adalah D^2 = (4-0)^2 + (3-y)^2 + (6-0)^2 = 16 + (3-y)^2 + 36 = 52 + (3-y)^2.
Untuk meminimalkan D^2, kita perlu meminimalkan (3-y)^2. Ini terjadi ketika y=3.
Titik terdekat pada AD adalah (0, 3, 0).
Jarak = sqrt(52) = sqrt(4 * 13) = 2 * sqrt(13) cm.

Namun, jika pertanyaan maksudnya adalah jarak P ke garis AD di bidang proyeksinya, atau jika AD dianggap sebagai garis di bidang dasar saja:
Bidang ABCD adalah bidang datar (z=0). Garis AD adalah segmen dari (0,0,0) ke (0,6,0). Titik P adalah (4,3,6).
Jarak P ke bidang ABCD (z=0) adalah 6 cm.
Dalam bidang ABCD, kita punya titik (4,3) pada koordinat x,y. Garis AD terletak pada sumbu y (x=0). Jarak titik (4,3) ke garis x=0 adalah 4 cm.

Jika kita menginterpretasikan