Bangun ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki. Jika PQRS

9/4 cm^2

Pembahasan

Diketahui bangun ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki, dan PQRS adalah sebuah persegi yang luasnya 1 cm². Kita perlu menentukan luas daerah segitiga ABC.

Karena PQRS adalah persegi dengan luas 1 cm², maka panjang sisi PQ = QR = RS = SP = sqrt(1) = 1 cm.

Karena segitiga ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki, dan persegi PQRS terletak di dalamnya, kita bisa asumsikan bahwa sisi-sisi persegi sejajar dengan sisi-sisi segitiga.

Ada beberapa kemungkinan penempatan persegi di dalam segitiga siku-siku sama kaki. Namun, interpretasi yang paling umum untuk soal semacam ini adalah bahwa salah satu sudut siku-siku segitiga berimpit dengan salah satu sudut persegi, dan sisi-sisi persegi terletak pada sisi-sisi miring dan sisi siku-siku segitiga.

Misalkan sudut siku-siku segitiga ABC ada di B. Maka, AB = BC. Titik P dan Q terletak pada sisi miring AC, titik R terletak pada BC, dan titik S terletak pada AB.

Karena segitiga ABC siku-siku sama kaki, maka sudut BAC = sudut BCA = 45 derajat.

Persegi PQRS memiliki sisi 1 cm. Jika S ada di AB dan R ada di BC, maka BS = BR = 1 cm. Jika P dan Q ada di AC, maka SR sejajar AB dan PQ sejajar BC (atau sebaliknya).

Namun, jika kita mengasumsikan penempatan yang lebih umum di mana salah satu sisi persegi berada pada salah satu sisi segitiga, dan sudut-sudut yang berlawanan berada pada dua sisi lainnya. Mari kita asumsikan alas segitiga ABC adalah BC dan tinggi adalah AB, dengan sudut siku-siku di A. Segitiga ABC adalah sama kaki, jadi AB = AC.

Jika PQRS adalah persegi di dalam segitiga ABC dengan luas 1 cm², maka panjang sisinya adalah 1 cm.

Jika kita menempatkan persegi PQRS sehingga sisi PQ berada pada alas BC, dan titik S berada pada AB serta titik R berada pada AC, maka tinggi segitiga dari A ke BC adalah h dan alasnya adalah b. Karena sama kaki, kita bisa pakai alas AC dan tinggi dari B ke AC. Atau alas AB dan tinggi BC, dengan sudut A = 90.

Jika ABC siku-siku di A, dan sama kaki maka AB = AC. Misalkan AB = AC = x. Maka BC = x * sqrt(2).

Jika persegi PQRS memiliki luas 1, maka sisinya adalah 1. Misalkan sisi PS sejajar AB dan QR sejajar AC, dengan P pada BC, S pada AB, R pada AC. Maka SR = 1.

Karena segitiga ABC sama kaki dan siku-siku di A, sudut ABC = sudut ACB = 45 derajat.

Jika kita menempatkan persegi PQRS sedemikian rupa sehingga S berada di AB, R berada di AC, dan PQ berada pada BC, maka tinggi segitiga dari A ke BC adalah h. Segitiga kecil AS'R' (dimana S' dan R' adalah proyeksi P dan Q ke AC) akan sebangun dengan segitiga ABC.

Interpretasi yang paling mungkin adalah bahwa persegi tersebut memiliki satu sisi pada salah satu sisi segitiga, dan dua sudut lainnya pada dua sisi lainnya. 

Jika kita mengasumsikan persegi PQRS diletakkan sedemikian rupa sehingga salah satu sisinya (misalnya SR) berada pada alas segitiga (misalnya BC), dan titik P berada pada AB, serta titik Q berada pada AC. Karena segitiga ABC siku-siku sama kaki, maka sudut ABC = sudut ACB = 45 derajat. Misalkan panjang sisi persegi adalah s=1. Maka tinggi segitiga dari A ke alas BC adalah h. Segitiga ABC akan memiliki alas b dan tinggi h. Karena sama kaki, h = b/2.

Jika persegi PQRS memiliki sisi 1 cm, dan salah satu sisinya berada pada alas segitiga ABC, maka luas segitiga ABC dapat dihitung.

Dalam kasus segitiga siku-siku sama kaki, jika persegi PQRS memiliki luas 1 cm², ini berarti sisi persegi adalah 1 cm. Jika kita menempatkan persegi sedemikian rupa sehingga salah satu sudutnya berimpit dengan sudut siku-siku segitiga (misalnya di A), dan sisi-sisi persegi berada pada kaki-kaki segitiga, maka panjang kaki-kaki segitiga tersebut adalah 1 cm. Luas segitiga ABC = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * 1 * 1 = 0.5 cm².

Namun, jika persegi PQRS ditempatkan dengan salah satu sisinya pada sisi miring segitiga, dan dua sudut lainnya pada kaki-kaki segitiga, atau sebaliknya, perhitungan menjadi lebih kompleks.

Jika kita mengasumsikan bahwa sisi persegi PQRS sejajar dengan alas segitiga ABC dan berada di dalamnya, dan luas persegi adalah 1 cm², maka sisi persegi adalah 1 cm. Jika titik S berada pada AB dan R pada AC, dan PQ pada BC, serta segitiga ABC sama kaki siku-siku di A. Maka tinggi segitiga adalah h, alasnya adalah b. AB = AC = x. BC = x * sqrt(2).

Hubungan antara sisi persegi (s) dan tinggi segitiga (h) serta alas segitiga (b) dalam segitiga sama kaki (ketika sisi persegi sejajar alas) adalah s = (b*h) / (b+h). 

Jika segitiga ABC siku-siku sama kaki, dan persegi PQRS luasnya 1 cm^2 (sisi = 1cm) diletakkan di dalamnya dengan salah satu sisi pada alas BC, dan sudut P pada AB, sudut Q pada AC. Maka tinggi segitiga dari A ke BC adalah h. Segitiga kecil di atas persegi sebangun dengan segitiga ABC. Tinggi segitiga kecil adalah h-1. Alas segitiga kecil adalah 1. Maka perbandingannya adalah (h-1)/1 = h/b. Karena sama kaki, kita bisa pakai sudut 45 derajat. Jika tinggi dari A ke BC adalah h, maka jarak dari A ke titik tengah BC adalah h. Segitiga ABC terbagi menjadi dua segitiga siku-siku yang kongruen. Misal titik tengah BC adalah M. Maka BM = MC = b/2. Sudut ABC = ACB = 45. Dalam segitiga ABM, sudut BAM = 45, sudut ABM = 45, sudut AMB = 90. Jadi AB = BM = b/2. Tinggi h = AB = b/2. Ini salah untuk segitiga siku-siku sama kaki.

Jika ABC siku-siku sama kaki di A, maka AB = AC. Sudut ABC = Sudut ACB = 45 derajat. Misalkan panjang kaki AB = AC = x. Maka luas segitiga ABC = 1/2 * x * x = x^2 / 2.

Jika persegi PQRS dengan sisi 1 diletakkan di dalamnya. Cara paling umum adalah salah satu sisi persegi berada pada salah satu sisi segitiga. Jika sisi PQ berada pada BC, S pada AB, R pada AC. Maka tinggi segitiga dari A ke BC adalah h. Jarak S ke BC adalah 1, jarak R ke BC adalah 1. Karena SR sejajar BC, segitiga ASR sebangun dengan ABC. Tinggi A ke SR adalah h-1. Alas SR = 1. Maka (h-1)/1 = h/BC. Karena ABC sama kaki dan siku-siku di A, sudut ABC = ACB = 45. Dalam segitiga ABC, jika tinggi dari A ke BC adalah h, maka alas BC = 2h. Maka (h-1)/1 = h/(2h) = 1/2. 2(h-1) = h => 2h - 2 = h => h = 2. Maka alas BC = 2*2 = 4. Luas ABC = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * 4 * 2 = 4 cm².

Periksa: Jika alas BC=4, kaki AB=AC=sqrt(2^2+2^2)=sqrt(8)=2sqrt(2). Segitiga sebangun ASR dengan ABC. Tinggi A ke SR adalah h-1 = 2-1 = 1. Alas SR = 1. Perbandingan tinggi (h-1)/h = 1/2. Perbandingan alas SR/BC = 1/4. Ini tidak konsisten.

Mari gunakan sudut 45 derajat. Misalkan persegi PQRS memiliki sisi s=1. S pada AB, R pada AC, PQ pada BC. Sudut ABC = ACB = 45.
Segitiga BPS adalah siku-siku di S. Sudut BPS = 45 (karena SR // BC). Segitiga CQR siku-siku di R. Sudut CRQ = 45.
Karena sudut B = 45 dan sudut BPS = 45, maka segitiga BPS adalah sama kaki, BP = BS.
Karena sudut C = 45 dan sudut CRQ = 45, maka segitiga CRQ adalah sama kaki, CQ = CR.
Panjang sisi persegi adalah PS = SR = RQ = QP = 1.
Karena SR = 1, dan SR = BP + PQ + QC (jika P, Q di antara B dan C), ini tidak mungkin karena PQ adalah sisi persegi.

Jika PQ di BC, S di AB, R di AC. Maka BP + SR + QC = BC (jika S dan R di dalam segmen AB dan AC). Atau PS = 1, QR = 1. 
Karena segitiga ABC sama kaki dan siku-siku di A, sudut ABC = ACB = 45.
Jika persegi PQRS dengan sisi 1 cm. S pada AB, R pada AC. Maka AS = AR (karena segitiga ASR sebangun dengan ABC). Misalkan AS = AR = y. Maka SR = y * sqrt(2). Tetapi SR adalah sisi persegi, jadi SR = 1. Maka y * sqrt(2) = 1 => y = 1/sqrt(2).

Jika S pada AB, R pada AC, P pada BC, Q pada BC. Maka PQ = 1. SR = 1.
Karena segitiga ABS dan ACR sebangun dengan ABC. AS = AR. Segitiga AS'R' sebangun ABC.

Interpretasi yang paling mungkin adalah: A adalah sudut siku-siku, AB=AC. Persegi PQRS memiliki sisi 1. S pada AB, R pada AC, P pada BC, Q pada BC. Maka PQ = 1. SR = 1. Segitiga AS'R' sebangun dengan ABC. Misalkan S berada pada AB dan R pada AC. Maka AS = AR. Tinggi dari A ke SR adalah h'. Alas SR = 1. Karena segitiga AS'R' sebangun ABC, maka perbandingan sisi-sisinya sama. AS/AB = AR/AC = SR/BC = 1/BC.

Jika sisi persegi 1 berada pada alas segitiga, dan dua sudut lainnya pada kaki-kaki segitiga.
Misalkan alasnya adalah BC, tingginya dari A ke BC adalah h. Luas = 1/2 * BC * h = 1.
Jika persegi PQRS luasnya 1, sisinya 1. Misalkan PQ pada BC. S pada AB, R pada AC. Maka tinggi dari A ke SR adalah h-1. Karena segitiga ASR sebangun ABC, maka SR/BC = (h-1)/h. 1/BC = (h-1)/h.
Karena ABC sama kaki siku-siku di A, maka sudut ABC = ACB = 45. Misalkan AB = AC = x. Maka BC = x * sqrt(2). Tinggi h dari A ke BC adalah garis berat, juga garis tinggi. Dalam segitiga ABM (M titik tengah BC), AM = h, BM = BC/2 = x*sqrt(2)/2. Tan(45) = AM/BM = h / (x*sqrt(2)/2). 1 = h / (x*sqrt(2)/2) => h = x*sqrt(2)/2. Ini berarti h = BC/2. Maka BC = 2h. 
Substitusikan BC = 2h ke perbandingan sebangun: 1/(2h) = (h-1)/h. 1 = 2(h-1) => 1 = 2h - 2 => 2h = 3 => h = 3/2. Maka BC = 2 * (3/2) = 3. 
Luas segitiga ABC = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * BC * h = 1/2 * 3 * (3/2) = 9/4 cm².

Mari kita cek jika luasnya 9/4. Tinggi h=3/2. Alas BC=3. Sisi persegi = 1. SR = 1. Tinggi A ke SR adalah h-1 = 3/2 - 1 = 1/2. Segitiga ASR sebangun ABC. SR/BC = 1/3. (h-1)/h = (1/2)/(3/2) = 1/3. Ini konsisten.

Jadi, luas daerah segitiga ABC adalah 9/4 cm².